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suites et séries de fonctions

Posté par
tac_15 03-10-09 à 19:02

Bonjour je n'arrive pas à résoudre ce problème j'espère que vous pourrez m'aider.

Calculer lim quand n tend vers + l'infini de l'intégrale entre -1 et 0 de (n*x^3*exp(-2x))/(1+n*x²). On intègre par rapport à x.

J'ai pensé que l'on devait montrer la convergence uniforme de la série de fonction (fn) sur [-1,0] afin de pouvoir intervertir limite et intégrale. Mais je n'arrive pas à montrer cette convergence uniforme ni à déterminer l'intégrale de la limite.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:22

Bonjour,

En effet on peut regarder la convergence uniforme des fn ( qui sont déjà bien continues , utile pour le théoreme ).
Déjà quel est la limite simple des fn ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:28

je dirais
f(x) = 0 pour x=0
       -1 pour x=-1
       et pour x entre 0 et -1 je n'y arrive pas. je dirais alternativement + ou - 1

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:30

Imagine qu'on fixe x non nul (le cas x=-1 n'importe pas la ) et qu'on ne fait bouger que les n vers l'infinie, tu vois maintenant ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:34

alors ca fait f(x)=1 ?

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:35

Non.
Quel est la limite de 3$ \fr{\lambda n}{1+\beta n} quand n tend vers l'infinie ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:38

ok oui pardon
alors ça ferait x*exp(-2x) ?

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:38

Oui, en résumer pour tout x dans [-1,0], quelle est la limite simple ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:43

f(x)=x*exp(-2x)

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:47

pour montrer la convergence uniforme il faut donc montrer que
sup de la valeur absolue de (fn - f) tend vers 0 quand n tend vers l'infini. C'est bien ça ?

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:48

Dans un premier temps on dit plutot que 3$ f_n(x)\longrightarrow_{n\to +\infty} f(x)=\{{ 0 \text{ si } x=0 \\ x\exp(-2x) \text{ sinon }
Bon cette fonction f est continue, donc pour l'instant on a encore toutes nos chances de montrer que fn converge uniformément vers f.

Montre maintenant que sup(|fn-f|) tend vers 0 quand n tend vers l'infinie.

Posté par
ottore : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:54

f(x)=0 si x=0 et f(x)=xpex(-2x) sinon, c'est pas la meme chose que f(x)=xexp(-2x) ??

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 19:57

Bonjour otto,
Si si bien sur mais c'était pour différentier ce cas là en fait. Apres c'est effectivement la meme chose.

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:00

je ne vois pas. L'expression ne s'arrange pas bien.

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:03

Pourtant !
3$ f_n(x)-f(x)=\fr{nx^3\exp(-2x)}{1+nx^2}-x\exp(-2x)=x\exp(-2x)[\fr{nx^2}{1+nx^2}-1], en mettant au meme dénominateur, on trouve quelque chose de pas trop mal non ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:11

oui ok donc effectivement cela tend vers 0 quand n tend vers l'infini

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:13

on fait donc une IPP pour l'intégrale et c'est bon on arrive au résultat ?
SI c'est le cas merci beaucoup.

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:17

Juste un truc, comment as-tu montré que   3$ \rm \sup_{t}(|f_n(x)-f(x)|) \longrightarrow_{n\to +\infty} 0

Oui après tu peux faire une IPP, c'est juste un calcul d'intégrale classique. ( Tu trouves quoi ? )

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:25

en fait j'ai montré que fn(x)-f(x) tendait vers 0 quand n tendait vers l'infini. Donc ca veux dire que sup tend vers 0 aussi non ?

Posté par
ottore : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:26

Si tel était le cas, il n'y aurait pas de différence entre les convergences absolue et simple ...

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:27

je trouve (-e²/4)-(1/4)

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:28

alors je ne sais pas comment montrer que l'expression tend vers 0.

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 20:32

Ok pour la limite de l'intégrale mais j'ai peur que la convergence uniforme des fn ne soit pas très claire.

Tu peux essayer de majorer 3$ |f_n(x)-f(x)| par une suite qui est indépendante de x ( d'ou la convergence uniforme )

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 21:18

je trouverais que 1/(1+nx²) majore l'expression ci dessus

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 21:37

Tu as du faire une erreur en majorant l'exponentielle, de plus tu vois qu'avec cette majoration on a du mal à se débarrasser du x.

Je te propose de majorer dans un premier temps comme ceci : 3$ |f_n(x)-f(x)|\leq \fr{|x|e^{2}}{1+nx^2}

Ensuite tu peux utiliser que pour tout a,b réels :  2|ab| a2+b2

Sauf erreurs.

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 21:52

je ne comprends pas comment on peut aboutir à la convergence uniforme grâce à une majoration par une suite qui ne dépend pas de x

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 21:55

je suis d'accord sinon jusque la pour la majoration

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:01

Tu ne comprends pourquoi on doit faire ca ou tu ne vois pas comment y arriver ?
Tu as réussi à trouver une majoration avec mes inégalités qui ne dépende pas de x ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:04

pourquoi on doit faire ça.
Et je n'arrive pas à supprimer les x.

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:12

On doit faire ca parce qu'on veut montrer que les fn convergent uniformément vers f : c'est à dire que tout les fn(x) se rapprochent aussi pres que l'on veut des f(x) et ce pour tous les x de [-1,0] en meme temps. Comme un mouvement d'ensemble et non en chaque point indépendement. (dsl c'est pas évident à expliquer ).

Bref, au final, ca explique un peu le fait qu'on cherche une majoration indépendante de x.

Pour les inégalites : pour a=1 et b=xn, tu en déduis quoi ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:23

ok c'est plus clair.
J'en déduis que 2|x*racine(n)| inférieur ou égal à 1+x²n
et que |fn(x)-f(x)| inférieur ou égal à e²/(2*racine(n))

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:36

Oui c'est ca. Et on a bien une majoration qui ne dépend pas de x et elle est valable sur [-1,0].
Bref, on a ce qu'on voulait.
Je te laisse conclure ?

Posté par
tac_15re : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:41

oui merci beaucoup pour votre aide.
peut-être à bientôt.

Posté par
Narhmre : suites et séries de fonctions 03-10-09 à 22:51

De rien


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