Inscription / Connexion Nouveau Sujet
suites et séries de fonctions
Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice, j'espère que vous pourrez me guider.
Soit (fn) n appartient à N la suite de fonctions définies sur R par fn(x)= x/(1+exp(-nx)).
1. Déterminer la fonction f telle que pour tout x de R, f(x) = limite de fn(x) quand n tend vers l'infini.
Pour cette question je dirais
f(x)=0 si x appartient à [- l'infini,0] et f(x)=x pour x strictement supérieur à 0.
Qu'en pensez vous ?
la suite est la suivante :
2. Les fonctions fn étant dérivables , étudier la convergence simple de la suite (f'n) n appartenant à N.
je dirais, si on appelle f'(x) la limite de (f'n) que :
f'(x) = 0 si x inférieur à 0
f'(x)=1/2 si x=0
f'(x)=1 si x supérieur à 0
êtes vous d'accord ?
ok c'est parfait alors.
Mais je suis plus embêté par la dernière question.
3. Etudier la convergence uniforme des suites (fn) et (f'n).
Indication : on pourra montrer que pour tout x de R, pour tout n de N :
|fn(x)-f(x)| inférieur ou égal à |x|exp(-n|x|)
Il n'y pas convergence uniforme de la suite (f'_n), puisque la limite n'est pas continue (les fonctions f'_n étant, elles, continues).
L'inégalité demandée est assez facile à démontrer (en distinguant les cas x>0 et x <0).
Une étude de la fonction t -> te-nt sur 
+ montre que cette fonction atteint son maximum pour x=1/n, ce maximum valant 1/(en). On en déduit
On en déduit la convergence uniforme de (f_n) vers f.
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac