Salut.

Pour la "partie de droite" de l'inégalité, ça se démontre sans trop de soucis par récurrence en montrant que :


Pour l'inégalité de gauche, je reviens plus tard

J'ai un peu du mal à le montrer par récurrence ...
Sinon on ne peut pas avec une simple mise en facteur commune, résoudre l'exercice ? Le passage par la récurrence est-il obligé ?
Merci

Honnêtement je ne sais pas, mais d'après moi la récurrence est le plus simple (et probablement le plus propre aussi).

Voilà un peu d'aide :
+ Soit Pn : "(1-(1/n))^n<(1/e)-(1/(2.n.e))"

+ Ini : P2
tu as (1-1/2)²=1/4 et 1/e-1/(4e)=3/(4e)>1/4 puisque e<3
Donc P2 vraie

+ Hérédité : si Pn vraie
++ n+1>n, donc , en élevant à la puissance n, tu gardes l'inégalité, puis tu multiplies à gauche par qui est inférieur à 1, et tu obtiens la partie gauche de la relation de mon précédent post.
++ pour la partie de droite de la relation ça se montre sans soucis
++ on a supposé Pn vraie, donc on a la relation "du milieu"
Donc si Pn vraie, tu as la relation que j'ai écrite dans l'autre post, donc tu as P_n+1

P2 est vraie, et si Pn vraie alors Pn+1 vraie blablabla... donc CQFD


Si tu ne veux pas faire de récurrence, pourquoi pas. Je ne vois pas ce que tu veux dire par "mise en facteur commune", mais c'est peut-être très bien...

Et pour la partie de gauche de ce qu'on te demande de démontrer, je dois avouer que je n'ai pas bcp cherché... dsl

OH non je ne crois pas que l'inégalité soit vraie