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Suites - Récurence, Convergence
Bonsoir, j'ai un DM à faire.. Et j'ai un petit problème avec les questions..
On considère les deux suites pn et qn suivantes :
p0 = 1
q0 = 1
pn+1 = pn + 2qn
qn+1 = pn + qn
1 . Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
pn² - 2qn² = (-1)n(p0²-2q0²)
2 . Montrer que la suite (pn/qn) converge vers racine de 2.
1 . Montrons par récurrence que pn² - 2qn² = (-1)n(p0²-2q0²) pour tout n 
Pour tout n , soit P(n)=pn² - 2qn² = (-1)n(p0²-2q0²)
P(0) est vraie car : p0²-2q0²=1-2=-1
(-1)0(p0²-2q0²)=1x(-1)=-1
Soit n et supposons P(n) vraie : pn² - 2qn² = (-1)n(p0²-2q0²) (H.R)
Montrons que P(n+1) est vraie :
H.R. : pn² - 2qn² = (-1)n(p0²-2q0²)
pn+1² - 2qn+1² = (-1)n+1(p0²-2q0²)
(pn+2qn)² - 2(pn+qn)² = (-1)n+1 x (-1)
pn² + 4pnqn + 2qn² - 2(pn²+ 2pnqn + qn²)=(-1)n+1 x (-1)
-pn²=(-1)n+1 x (-1)
J'ai essayé ça mais j'arrive pas à trouver comment montrer par récurrence.
2 . J'arrive pas à trouver..
Merci beaucoup pour ton aide !
Pour la une, faut faire deux cas différents ? Le premier, n pair, et le deuxième, n impair ? oO .
Je n'ai pas l'impression, il me semble que tu vas trouver 2q(n+1)^2-p(n+1)^2= (-1)^n(p(0)^2-2q(0)^2) ce qui est en fait exactement ce que l'on veut!
Et pour la deux, je fais par rapport à l'équation de la question 1 ?
pn= racine de ((-1)n(p0²-2q0²)+2qn²)
et pareil pour qn
Et c'est la limite de ce quotient c'est ca ?
Ah chui trop bête ! J'avais fait une erreur enfait à la question 1 :
H.R. : pn² - 2qn² = (-1)n(p0²-2q0²)
pn+1² - 2qn+1² = (-1)n+1(p0²-2q0²)
(pn+2qn)² - 2(pn+qn)² = (-1)n+1(p0²-2q0²)
pn² + 4pnqn + 4qn² - 2(pn²+ 2pnqn + qn²)= (-1)n+1(p0²-2q0²)
2qn²-pn²= (-1)n+1(p0²-2q0²)
Mais je ne trouve pas ce qu'ils demandent dans l'énoncé.. Il demande de trouver pn² - 2qn² mais je trouve pas ca.. Et comment peut-on faire pour changer le n+1 qui est à la puissance de (-1) à droite du signe égal par n, pour que l'équation j'ai trouvé soit comme l'énoncé ?
T a fait tout le travail il te reste juste une petite chose :
2qn²-pn²= (-1)n+1(p0²-2q0²)
2qn²-pn²= (-1)n(-1)(p0²-2q0²)
pn²-2qn²= (-1)n(p0²-2q0²)
Voilà.
2qn²-pn²= (-1)n(-1)(p0²-2q0²)
tu vois le (-1) qui est tout seule la, je le prend vers l'autre coté,
(2qn²-pn²)/(-1)= (-1)n(p0²-2q0²)
pn²-2qn²= (-1)n(p0²-2q0²)
Ah oui ! D'accord 
. Merci .
Et pour la question 2,
donc :
pn = racine de ( (-1)n(p0²-2q0²)+2qn² )
qn = - racine de ( ((-1)n(p0²-2q0²)-pn²)/2 )
donc après simplification, je trouve :
(pn/qn) = - racine de ( (2qn² x 2)/(-pn)² )
Je sais pas quoi faire après :/
Je ne comprends pas pourquoi tu ne fais pas ce que je te dis....
Tu prends l'équation que tu dois montrer à la question 1 et tu divise par qn^2, il n'y a rien d'autre à faire ...
Oui mais si je divise par qn^2, à gauche du signe égal il ne restera plus que pn^2-2 comme le qu^2 sera annulé.. Non ?
Et c'est pas pn/qn ><..
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