Niveau Master

Sujet agreg 2005

Posté par
vyse 17-01-10 à 18:22

Bonjour!

Je bloque sur une question:

Soit $A$ l'espace vectoriel complexe des familles $(a_{m,n})_{(m,n) \in \mathbb Z^2}$ de nombres complexe.
Pour $a = (a_{m,n})_{(m,n) \in \mathbb Z^2} \in A$ , on pose :
$||a||_1 = \sum_{(m,n)\in \mathbb Z^2} |a_{m,n}|$ et $||a||_2 = (\sum_{(m,n)\in \mathbb Z^2} |a_{m,n}|^2)^{1/2}$ .
On pose $A_1 = {a \in A ; ||a||_1 \neq \infty}$ et $A_2 = {a \in A; ||a||_2 \neq \infty}$ .
On pose également $\lambda$ un nombre complexe de module $1$ .
Enfin, pour $(m,n) \in \mathbb Z^2$ on considere la famille $(\lambda^{q(m-p)}a_{p,q}.b_{m-p,n-q})_{(p,q) \in \mathbb Z^2} = d_{p,q}$ avec $a$ et $b$ deux éléments de $A_2$ . On pose $d = (d_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb Z^2}$ .
Je dois montrer que $||d||_1 \leq ||a||_2 . ||b||_2$ .
Je ne vois pas comment faire. J'ai pourtant une indication qui me dit d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz mais je ne vois pas du tout comment l'appliquer.
Merci pour toutes réponses!

Posté par re : Sujet agreg 2005 17-01-10 à 19:06

| _- a _p,q b _m-p,n-q |= | a _p,q b _m-p,n-q | ( | a _p,q | ² ) ^1/2 ( | b _m-p,n-q | ² ) ^1/2
la premiere somme tu la reconnait mais la 2 est aussi ||b|| ₂ il suffit de remarquer que {(m-p,n-q)/(p,q) ²}= ²

Posté par re : Sujet agreg 2005 18-01-10 à 18:08

Merci! Il y encore quelque chose qui me dérange: L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que $\sum |u_k.v_k| < ( |u_k|^2 )^{1/2} ( |v_k|^2 )^{1/2}$ . Ici, $u_k = a_{p,q}$ et $v_k = b_{m-p,n-q}$ . Le changement d'indice entre les deux termes ne pose pas de problemes ?

Posté par re : Sujet agreg 2005 18-01-10 à 18:10

Merci! Il y encore quelque chose qui me dérange: L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que $\sum |u_k.v_k| < (\sum |u_k|^2 )^{1/2} (\sum |v_k|^2 )^{1/2}$ . Ici, $u_k = a_{p,q} et v_k = b_{m-p,n-q}$ . Le changement d'indice entre les deux termes ne pose pas de problèmes ?

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