Bonjour,

Je suis bloqué dans la résolution d'un exercice en arithmétique sur les nombres premiers, je vous indique après l'énoncé ce que j'ai pour l'instant déjà trouvé.

Enoncé :

On admet que 2003 est un nombre premier.

1. Déterminer l'ensemble des couples (a ; b) d'entiers naturels admettant pour somme 8012 et pour PCGD 2003.

2. On considère l'équation (E) d'inconnue : , où
On s'intéresse à des valeurs de telles que (E) admette deux solutions dans .

a. Peut-on déterminer un entier tel que 2 soit solution de (E) ? Si oui, préciser la deuxième solution.
b. Peut-on déterminer un entier tel que 3 soit solution de (E) ?
c. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 8012. En déduire toutes les valeurs possibles de telles que (E) admette deux solutions dans .

3. Comment montrerait-on que 2003 est un nombre premier ? Préciser le raisonnement employé.

1. J'ai trouvé que le couple (2003,6009) convenait, mais pas en l'ayant cherché de manière mathématique, d'ailleurs je ne sais pas comment trouver par le calcul un couple qui corresponde à :
a + b = 8012
PGCD (a,b) = 2003

2. Pour les questions a et b, j'ai cru comprendre qu'il fallait remplacer les x dans l'équation par la valeur donnée, c'est-à-dire 2 puis 3. En faisant cela, j'ai trouvé S = 4008 puis S = 8021/3 ; je ne suis pas très sûr d'avoir compris la question, merci de m'expliquer comment procéder également avec la c. Puisque je ne pense pas qu'il faille donner tous les diviseurs de 8012, à savoir {1 2 4 2003 4006 8012}

3. Pour montrer que 2003 est premier, on essaye de le diviser par tous les nombres inférieurs à c'est-à-dire environ 45 et on constate qu'il n'admet pas de diviseur, mais je ne sais pas si ce raisonnement porte un nom.