Bonjour.

Applique la formule de Taylor-Lagrange à la fonction , en développant autour de 0, et pose ensuite .
Tu dois obtenir , pour .

Quand je dérive n fois ln(1+x) il y a plein de coefficients qui apparaissent, pourquoi ils ne sont pas dans la formule ?

Quelle est la dérivée n-ième de ln(1+x) ?

bonjour bonjour

elotwist : n'oublie pas qu'on travaille pour x autour de 0

Je trouve [ln(1+x)]^(n)= ((-1)^(n+1))/(1+x)^n) * 2*3*...*n.

Car :
(ln(1+x))'= 1/(1+x)

(ln(1+x))'' =-1/(1+x)²

(ln(1+x))'''= 2/(1+x)^3
....

Ca a du sens, mais n'oublie pas que dans la formule de taylor les coefficients sont les dérivées n-iemes oui, mais à une division par n! pres ...

Oui j'ai oublié de diviser par n! donc en fait j'obtiens 1/(1+x)^n
et je retrouve bien la formule qui m'est emandée merci !

Maintenant, j'ai un=(-1)^(n-1)/n
Je dois cnsidérer la série de terme général un, dans l'ordre où ils apparaissent, un terme positif, unterme négatif, un terme positif, deux termes negatifs,..., le p ième terme positif puis 2^(2p-1) termes négatives.
Je sais que cette série est divergente, mais comment le démonter ?

Comment ça, cette série diverge ?

Si tu connais le critère spécial des séries alternées, alors c'est tout-à-fait trivial.

Sinon, considère les sommes partielles et , et montre que les suites et sont adjacentes.

Je te rappelle que le but de ton exo est de montrer que

elotwist> Je ne comprends pas bien ta question, grâce a la question précédente, on a une expression du reste de la série, et on peut montrer facilement que ce reste tend vers 0, quand n tend vers l'infini, ce qui permet à la fois de montrer la convergence de la série, et de calculer sa somme.

gui_tou Au signe près

Pff suis-je bête

désolé Arkhnor :emabarras:

mais cette série n'est pas convergente...

si ! à toi de le montrer avec ce que tu as fait plus haut !

J'ai montré que ((-1)^(k-1))/k tend vers ln 2 quand k tend vers l'infini. Donc maintenant on change l'ordre des termes de la série :
mon premier terme est : 1
mon second terme est : (-1)/2
montroisième terme est : 1/3
mon quatrième est -1/5
mon cinquième est -1/7
mon sixième est 1/4
...
en sommant deux à deux les termes de cette série... on obtient encore ln(2) je ne vois pas pourquoi en changeant l'ordre des termes on changerait la somme...donc moi je trouve qu'elle est convergente.

Non tu as montré que

Qui te demande de changer l'ordre des termes ?

Et effectivement, en permutant l'ordre des termes, on peut faire changer la somme .. on peut lui donner n'importe quelle valeur

En revanche les séries absolument convergentes sont commutativement convergentes..

bah c'est l'énoncé qui demande de changer l'ordre des termes en considérant la série : 1 terme positif, 1 negatif, 1 positif, 2 négatifs,..., le pème terme positif puis 2^(p-1) termes négatifs.

Ca veut dire que si ma nouvelle somme vaut + l'infini je n'ai plus la convergence.
Je trouve ça étrange quand meme, qu'en changeant l'ordre de la sommation on change la valeur.
Comment faire piour voir si ma nouvelle série converge ou pas puisque je n'est plus d'expression du terme général.

ah ok l'énoncé le veut mea grandissima culpa

un pdf très bien fait

Je te conseillerais de passer par les sommes partielles, pour voir ce qu'il se passe.

Est ce possible de trouver une expression du terme général de cette série ?
ce serait une expression du style pour p allant de 0 à l'infini somme de 1/(2p-1)- somme de q allan de 2p à ... 1/p^?

non je ne pense pas qu'on puisse trouver une expression simple tu terme général.. ça donne quoi avec les sommes partielles ?

Je ne vois pas comment résonner avec les sommes partielles . Quelles sommes partielles ? de quelles séries ?

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non ba je vois pas trop comment faire, si on veut la valeur exacte ..

Mais pour cette arrangement là normalement on obtient une serie divergente.
si on montre que tous les termes divergent... on a que la serie diverge,non?

hop hop hop

le terme général tend toujours vers 0, donc si la série diverge, la divergence n'est pas grossière