Niveau école ingénieur

Surface

Posté par
charlotte60c 09-05-09 à 16:59

Bonjour

j'ai fait un exercice mais je ne suis pas sur de mes résultats , et je bloque sur la fin ...

soit $S={x+2y^2+2z^2=2 , x>=0 ,y>=0,Z>=0}$

questions :\\
1)représenter S et donner sa nature .

Au vu de l'équation je pense à un paraboloide élliptique , concernant la représentation si vous avez des conseils je suis preneuse , j'ai tjrs du mal à voir dans l'espace.

2)peut - on écrire $z=\alpha_1(x,y)$ et $x=\alpha_2(y,z)?$

Oui je trouve : $x = 2.(1-y^{2}-z^{2})$
et
$z=\sqrt{2-x-2y^2}$

3) représentation paramètriqye de S

je trouve : $x=t$
$y=\sqrt{1-t/2}.cos(\theta)$
$z=\sqrt{1-t/2}.cos(\theta)$ avec

$\theta$ de 0 à pi/2 et t de 0 à 2.

4) donner une description paramètrique de C contour de S?
je suis pas sur mais je crois que c'est la meme chose sauf que je dois modifier l'intervalle de theta et t?

5)M0(1;1/2;1/2) est-il sur S , oui!

6)donner le vecteur normal à S en M0?

Ici j'ai appliqué le gradient je trouve , n(1,4y,4z)

7)donner deux vecteurs tangents à S en M0?
Ici je bloque

8) donner la description cartésienne du plan tangent à S en M0 et de la droite normal à S en M0?
I don't no =(

voilà si vous pouvez m'aider , ça serait très gentil merci bcp.\\

Posté par re : Surface 10-05-09 à 09:32

une petite aide ?

Posté par re : Surface 10-05-09 à 15:15

Bonjour

Petite erreur pour z, en fait $z=\sqrt{\frac{2-x-2y^2}{2}}$

C'est bien une portion de praboloïde, mais il est circulaire (enfin, elliptique très particulier). Pour x fixé, on trouve le cercle $y^2+z^2=1-(x/2)$ et ceci montre que x n'est pas quelconque... Comme il doit être positif, et comme $y^2+z^2$ aussi, on a forcément $0\leq x\leq 2$ . Ensuite, les conditions $y\geq 0$ et $z\geq 0$ imposent de ne prendre qu'un quart du dit paraboloïde. Pour un dessin, il faut un logiciel (que je n'ai pas sous la main...)

Dans la représentation paramétrique il faut prendre $\sin(\theta)$ dans z.
Le contour est vraiment le bord de la surface. Il est formé de 3 courbes, une dans le plan x=0, (un quart de cercle) une dans le plan y=0 et une dans le plan z=0, (des bouts de parabole)

Je ne comprends pas ton vecteur normal; il ne devrait y avoir aucune variable!
Pour des vecteurs tangents, il suffit d'exhiber des vecteurs orthogonaux au vecteur normal.

Posté par re : Surface 10-05-09 à 17:01

merci je pense avoir mieux compris pour la paramétrisation ,

pour mon vecteur normal , ça doit etre

n(1,2,2) sauf erreur ?

pour les vecteurs orthogonaux je suis pas sure mais ça peut etre par exemple (1,-2,1/2) ?

Posté par re : Surface 10-05-09 à 20:01

est-ce que mon vecteur normal est bien n(1,2,2)?

Posté par re : Surface 11-05-09 à 14:10

Oui, un vecteur normal est (1,2,2). Pour une $base$ de vecteurs tangents en ce point tu peux prendre (0,1,-1), (1,-1/2,0). Le vecteur que tu proposes n'est pas orthogonal à n.

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