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Surfaces de révolution
Bonjour !
Allez un autre exercice, tant que je suis en forme !
Soit un ouvert de
tel que
.
Soit une application de classe
de
dans
. On note
l'application de
dans
définie par
.
Soit enfin et
.
1) A quelle condition surjective ? (on supposera ensuite que cette condition est tous le temps satisfaite)
2) Cela suffit-il pour que soit une sous-variété de
?
3) En supposant que , quel est le plant tangent à
en ce point ?
4) Que peut-on dire de l'intersection de \Large S_f avec \Large P_k =\{(x,y,z)\,:\, z=k\} pour k réel ?
5) Trouver f de telle sorte que \Large S_f soit la sphère usuelle, puis une bouée de centre l'origine.
6) On prend maintenant et
si u est différent de 0 et f(0,v)=v. Montrer que
est une sous-variété homéomorphe à
.
Alors, déjà dans la première question, j'ai envie de calculer le rang de la matrice jacobienne de g mais je fais un gros blocage. Puisque , alors on a
si je me trompe pas.
Puis je trouve . Mais je ne vois pas comment écrire
!
Help !
Ce qui me pose problème c'est le par exemple ! On va dériver en fonction de v quelque chose qui ne dépend pas de v !
Mais non! Voilà un exemple!
Soit (au hasard le plus total).
D'ailleurs, dans cet exemple et ça te ferait un excellent exo de calculer la jacobienne de g directement et en utilisant la méthode générale avec g=f o h.
Arf oui, j'y suis plus. Je vais sortir un moment, pour reprendre tout à l'heure !
Merci énormément Camélia !
Donc je doit bien avoir que la matrice jacobienne de g doit être de dimension 1, la dimension de l'espace d'arrivée ?
Si je me trompe pas, Dg surjective ssi le rang de la matrice jacobienne est égale à celui de l'espace d'arrivée.
Quelqu'un peut-il me confirmer/infirmer svp ?
Merci !
Bon, après dodo !
La jacobienne est de rang min(1,3)=1. Pour que ce ne soit pas 0, il faut que :
ou
ou
Je suppose que c'est cela la condition !!
Pour le 2), si la jacobienne est de rang 1, alors je dirais que est bien une sous-variété !
Mais ça sent le piège !
Bon, me revoilà!
1) La condition pour que la jacobienne soit de rang 1 est OK.
2) Il y a bien un piège! C'est un sous-variété dès que c'est NON VIDE (je ne crois pas que les hypothèses permettent de l'affirmer)
3) Je suppose que
Merci !
Je finirais cet exercice plus tard, car maintenant, je vais passer à un autre type de géométrie : la géométrie affine !
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