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Surjection/Injection/Image réciproque
Bonjour,
Soit f une application de E dans F, A une partie de E et B une partie de F.
J'aimerais montrer que f(f^(-1)(B)) est inclus dans B et que l'égalité n'est vraie que si f est surjective.
Ma tentative de résolution :
Je pose x appartenant à f(f^(-1)(B)).
Il existe donc un y de f^(-1)(B) tel que f(y) = x.
Et il existe donc un z de B tel que f(y) = z
D'où x = z, et comme z appartient à B, x appartient aussi à B. (je sais pas si c'est bon jusque là...)
Pour le cas où f est surjective, je vois pas...
Merci de votre aide !
Bonjour. 
Pour ta résolution, c'est correct.
Pour l'autre sens, tu dois donc prendre x dans B, et montrer qu'il est dans . Pour cela, utilise la surjectivité de f, afin de montrer qu'il existe un élément y tel que
.
Salut Arkhnor,
Alors :
soit x appartenant à B
Il existe donc un y de f^(-1)(B) tel que f(y) = x (mais là j'ai pas l'impression d'utiliser la surjectivité 
)
Et en fait, là ça suffit pour dire que donc x appartient à f(f^(-1)(B)), non ?
Merci en tout cas !
La surjectivité de (application de
dans
) signifie, par définition, que pour tout élément
, il existe un élément
tel que
.
Donc, si , il existe
tel que
, par conséquent
, et la conclusion tombe, comme tu l'as remarqué.
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