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Niveau Licence Maths 1e ann
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Surjectivité, injectivité de la fonction ensemble vide

Posté par
mythique
18-03-10 à 14:13

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à m'y faire à cette fonction ensemble vide!

La fonction vide de dans est-elle surjective?
La fonction vide de dans est-elle injective?

Et la je n'en ai strictement aucune idée bien que je connaisse les définitions d'injection et de surjection.

Mon problème est que je ne peux pas prendre de x et y différents pour prouver que f(x) différent de f(y) par exemple, puisque la fonction vide n'a aucun élément.



une idée? Merci!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Surjectivité, injectivité de la fonction ensemble vide 18-03-10 à 14:25

Bonjour

Bien sur on est plutôt au niveau des conventions, mais quand même... L'unique fonction \f: \emptyset\to X (ou X est un ensemble quelconque) est l'inclusion de la partie vide dans l'ensemble. Comme f(\emptyset)=\emptyset f n'est pas surjective, sauf si X=\emptyset.

En revanche elle est bien injective... On est surs qu'on ne peut pas trouver x et y distincts dans l'ensemble vide ... et encore moins ayant la même image!

C'est une application du principe général suivant: Si P est une propriété, alors

(\forall x\in\emptyset)P(x)

est VRAIE (puisqu'il n'y a rien à vérifier...)

Posté par
mythique
re : Surjectivité, injectivité de la fonction ensemble vide 18-03-10 à 14:54

Merci Camélia J'ai tout compris

Posté par
Camélia Correcteur
re : Surjectivité, injectivité de la fonction ensemble vide 18-03-10 à 14:55



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