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symetrie de fonctions circulaire reciproques

Posté par
manux 01-11-08 à 11:42

Bonjour,

J'ai à étudier une fonction telle que : f(x)=arccos(2x/(1+x²))+2arctan(x)+x

J'ai remarqué que ça courbe possède une symétrie mais je j'arrive pas à le prouver...
Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance

Posté par
jeansebre : symetrie de fonctions circulaire reciproques 01-11-08 à 13:06

Bonjour

Quelle symétrie?

Posté par
pythamedere : symetrie de fonctions circulaire reciproques 01-11-08 à 13:26

Pour montrer qu'une courbe C_f a pour centre de symétrie le point (a;b), il faut montrer que \frac{f(a-h)+f(a-h)}{2} = b.

On sent effectivement qu'un point quelque part sur l'axe Oy semble être centre de symétrie. Pour le vérifier tu dois calculer \frac{f(x)+f(-x)}{2} si c'est constant et égal à b, alors tu auras démontré que le point (0;b) est centre de symétrie !

Posté par
manuxre : symetrie de fonctions circulaire reciproques 02-11-08 à 00:24

oui, mais le probleme c'est que l'on ne connait pas le centre de symetrie, nous devons le trouver...:s
et c'est la que je bloque...

Posté par
pythamedere : symetrie de fonctions circulaire reciproques 02-11-08 à 11:28

Je pensais que tu l'avais dessinée sur ta calculette ! Il me semble que ça se voit : s'il y a symétrie, il me semble que l'on voit que le centre de symétrie ne peut être que sur l'axe Oy ! De toutes façons, on ne risque rien d'essayer !

Donc, choisissons donc a=0 !

\frac{f(a+x)+f(a-x)}{2} = \frac{f(x)+f(-x)}{2} = \frac{[Arccos(\frac{2x}{1+x^2}) +2 Arctan(x) + x]+[Arccos(\frac{2(-x)}{1+(-x)^2}) +2 Arctan(-x) + (-x)]}{2}

Les fonctions Arctan et x sont impaires donc : Arctan(x)+Arctan(-x)=0 et x+(-x)=0 : il reste donc :

\frac{f(a+x)+f(a-x)}{2} = \frac{[Arccos(\frac{2x}{1+x^2})]+[Arccos(\frac{2(-x)}{1+(-x)^2})]}{2}

Posons \alpha=\frac{2x}{1+x^2}

Nous devons trouver la somme Arccos(\alpha)+Arccos(-\alpha) : sauras-tu terminer ?

Posté par
manuxre : symetrie de fonctions circulaire reciproques 02-11-08 à 12:11

oui, maintenant que tu le dis ça semble évident
je te remercie beaucoup de m'avoir aidé
et je pense pouvoir me débrouiller pour la suite.

merci encore


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