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tables de la loi normale centrée réduite

Posté par
Nicolas_75 03-01-10 à 11:25

Bonjour,

Quelques explications suite à un échange par mél avec pabla97...

Il existe plusieurs tables permettant de trouver $\alpha$ ou $z_{\alpha}$ l'un à partir de l'autre dans des expressions du genre $\mathbb{P}(Z>z_{\alpha})=\alpha$ où $Z$ suit une loi normale centrée réduite.

Rappelons que la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite est $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$

Cela signifie simplement que, lorsque $Z$ suit une loi normale centrée réduite :
$3$\fbox{\mathbb{P}(a\le Z\le b)=\Bigint_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t}$

On vérifie que :
$3$\Bigint_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=1$

De plus :
$3$\mathbb{P}(Z\ge a)=\Bigint_a^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$

Enfin :
$3$\mathbb{P}(Z\le b)=\Bigint_{-\infty}^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$
On note usuellement $3$\Phi(x)=\Bigint_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$
Donc $3$\mathbb{P}(Z\le b)=\Phi(b)$

1. La table la plus courante est celle qui donne $\Phi(x)$ en fonction de $x$ , ou, en d'autres termes $P(Z<z_{\alpha})$ en fonction de $z_{\alpha}$
Voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale#Tables_num.C3.A9riques

tables de la loi normale centrée réduite

Cette table donne $P(Z<z_{\alpha})$ en fonction de $z_{\alpha}$ avec $z_{\alpha}$ positif. Néanmoins, on peut se trouver dans d'autres situations. Pour cela, il y a deux règles à connaître.

Quand $z_{\alpha}$ est négatif, on utilise la symétrie :
$P(Z<z_{\alpha})$ = $P(Z>-z_{\alpha})$ où $-z_{\alpha}$ positif.

Quand l'inégalité est dans l'autre sens, on prend le complémentaire à 1 :
$P(Z>z_{\alpha}) = 1 - P(Z<z_{\alpha})$ , le dernier se lisant dans la table quand $z_{\alpha}$ est positif.

Prenons maintenant des exemples numériques, issus de ton mél. On suppose bien sûr que $Z$ suit une loi normale centrée réduite.

$\mathbb{P}(Z < 1,226)$ est compris entre 0,88877 et 0,89065 (on peut faire une interpolation linéaire pour donner une valeur unique)
$\mathbb{P}(Z > -1,881) = \mathbb{P}(Z < 1,881)$ , compris entre 0,96995 et 0,97062
$\mathbb{P}(Z < -3,09) = \mathbb{P}(Z > 3,09) = 1 - \mathbb{P}(Z < 3,09) = 1-0,99900=0,001$

On cherche $a$ tel que $\mathbb{P}(Z>a)=0,41$ . Comme 0,41 est supérieur à 1/2, on sait que $a$ est positif.
$\mathbb{P}(Z<a)=1-0,41=0,59$
On lit dans la table que $a$ est compris entre 0,22 et 0,23

Enfin, on cherche $a$ tel que $\mathbb{P}(1,06<Z<a) = 0,135$ .
$\mathbb{P}(Z<a)-\mathbb{P}(Z<1,06) = 0,135$
$\mathbb{P}(Z<a) = 0,135+\mathbb{P}(Z<1,06)$
$\mathbb{P}(Z<a) = 0,135+0,85543$
$\mathbb{P}(Z<a) = 0,99043$
Donc $a$ est compris entre 2,34 et 2,35

2. Voyons maintenant ce que cela donne avec "ta" table

tables de la loi normale centrée réduite

L'optique est inversée par rapport à la table précédente. Un $\alpha$ étant donné, cette table donne $z_{\alpha}$ tel que $P(Z>z_{\alpha})=\alpha$

Reprenons les exemples numériques ci-dessus, pour voir si nous obtenons les mêmes résultats...

$\mathbb{P}(Z < 1,226) = 1-\mathbb{P}(Z > 1,226)$ . On cherche 1,226 dans la table. Cela correspond à $\alpha\simeq 0,11$ donc une probabilité cherchée $\simeq 0,89$

$\mathbb{P}(Z > -1,881) = \mathbb{P}(Z < 1,881)$ ; malheureusement, on est dans la partie tronguée ("/") de la table.

$\mathbb{P}(Z < -3,09) = \mathbb{P}(Z > 3,09) = 1 - \mathbb{P}(Z < 3,09)$ . A nouveau, la table ne va pas jusqu'à ces valeurs.

On cherche $a$ tel que $\mathbb{P}(Z>a)=0,41$ . On lit directement dans la table que $a$ vaut 0,228.

Enfin, on cherche $a$ tel que $\mathbb{P}(1,06<Z<a) = 0,135$ .
$\mathbb{P}(Z<a)-\mathbb{P}(Z<1,06) = 0,135$
$1-\mathbb{P}(Z>a)-1+\mathbb{P}(Z>1,06) = 0,135$
$\mathbb{P}(Z>a)=\mathbb{P}(Z>1,06)-0,135$
$\mathbb{P}(Z>1,06)$ se lit dans la table $\simeq 0,145$
$\mathbb{P}(Z>a)=0,010$
La valeur se lit directement dans la table : $a=2,326$

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par c'est clair et limpide 03-01-10 à 12:04

merci !

je comprends mes erreurs....j'avais zappé le cours!
merci infiniment Nicolas, ton explication va me servir pour reprendre une méthode de travail et à mes bout'chous aussi, ils en ont besoin.

pabla97

Posté par re : tables de la loi normale centrée réduite 03-01-10 à 13:25

Je t'en prie.

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