Niveau Maths sup

Tangeantes horizontales et verticales de la cardioïde

Posté par
terminale99 04-11-09 à 15:46

Bonjour
$4$p(\theta)=2(1-cos\theta)$
Je cherche à montrer que la cardioïde admet une tangeante verticale en $2$\theta=\pi$
J'ai cherché par faire le taux d'accroissement
$3$\frac{p\theta-p(\pi)}{\theta-\pi}=\frac{2(1-cos\theta)-4}{\theta-\pi}=\frac{-2(1-cos\theta)}{\theta-\pi}$ :FI
j'ai donc utilisé la règle de l'hopital
$3$y(\theta)=-2(1-cos\theta$ )
$3$y'(\theta)=2sin\theta$
$3$x(\theta)=\theta-\pi$
$3$x'(\theta)=1$
$3$\frac{y'}{x'}=2sin\theta$
La limite en $\pi$ est donc 0 ce qui ne colle pas car la tangeante est vecticale,
où est le problème?
merci pour votre aide

Posté par re : Tangeantes horizontales et verticales de la cardioïde 04-11-09 à 15:51

Bonjour

Mélange entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes. La pente de la tangente est y/x en coordonnées cartesiennes! Donc tu écris
$x(\theta)=p(\theta)\cos(\theta)$ $y(\theta)=p(\theta)\sin(\theta)$

et tu regardes...

Posté par re : Tangeantes horizontales et verticales de la cardioïde 04-11-09 à 16:02

daccord, donc en $\theta=\pi$ j'ai p=4
donc $y(\pi)=0$ et $x(\pi)=4$
J'obtiens 0 problème?

Posté par re : Tangeantes horizontales et verticales de la cardioïde 04-11-09 à 16:03

Je suis un peu perdu avec les histoires de tangeantes

Posté par re : Tangeantes horizontales et verticales de la cardioïde 04-11-09 à 16:09

Ah je pense avoir trouvé. $p'(\pi)=0$ donc la tangeante à la courbe est orthogonale au rayon vecteur ?

Posté par re : Tangeantes horizontales et verticales de la cardioïde 04-11-09 à 16:25

Oui, je me suis mal exprimée...C'est vrai que pour $\theta=\pi$ on trouve x=4 et y=0.

Je pensais en termes de courbes paramétrées...

En général: pour une courbe en polaires si on écrit $f(\theta)=r(\theta)\vec u(\theta)$ avec $\vec u(\theta)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ et si on pose $\vec v(\theta)=(-\sin(\theta),\cos(\theta))$ on a

$f'(\theta)=r'(\theta)\vec u(\theta)+r(\theta)\vec v(\theta)$

On donc ici:

$p'(\pi)=p'(\pi)\vec u(\pi)+p(\pi)\vec v(\pi)=4(0,1)$

et ça c'est bien un vecteur vertical!

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