Niveau terminale

tangente a la parabole et air minimun

Posté par
darktrooper 09-09-07 à 20:50

bonjour , quelqu'un pourrait t'il m'aider a trouver la voix pour résoudre cette exercice

1=>soit  g fonction définie sur ]-1;1[ par g(x)=1+x² tracer la courbe

2=>soit x un réel non nul element de l'intervalle ]0;1]
on appelle M le point  de (c) abscisse x
           T  la tangente en M a la courbe (C)
           T coupe l'axe des abscisses en I et l'axe des ordonnées en J

pour quelle valeur de x l'aire du triangle OIJ est elle minimun

j'aurais tendance a partir du coté des limites de suite et les asymptote pour trouver la valeur min  , est ce  que c'est ca ???

merci d'avance de vos réponses

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 09-09-07 à 21:14

Bonjour,

Une solution expéditive:

Regarde l' équation de la tangente à la courbe au point d' abscisse 1; en principe: $y=2x$

Cette tangente passe par $O$ et pour $x=1$ , les points $O$ , $I$ et $J$ sont confondus.

L' aire du triangle OIJ est don nulle pour $x=1$

Et 0 est bien un minimum pour une aire.

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 10-09-07 à 19:26

merci de l'aide

ca va bien m'aider , seule différence le prof a preciser qu'il voulait que l'on passe par un tableau de signe ce qui ne change rien

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 10-09-07 à 20:08

Re,

Une solution moins expéditive:

Equation de la tangente en $M(x,1+x^2)$ :

$Y=g'(x)(X-x)+f(x)$ avec $g'(x)=2x$ et $g(x)=1+x^2$

soit: $Y=2x(X-x)+1+x^2$ ou: $y=2xX+1-x^2$

Point $I$ : $Y_I=0\Longrightarrow X_I=\frac{x^2-1}{2x}$

Point $J$ : $X_J=0\Longrightarrow Y_J=1-x^2$

On a $OI=|X_I|=\frac{1-x^2}{2x}$ car $x\in [0,1]$

et $OJ=|Y_J|=1-x^2$

D' où $A(x)=\frac{OI.OJ}{2}=\frac{(1-x^2)^2}{4x}$

Il reste à étudier les variations de cette fonction sur $[0,1]$

On trouve $A'(x)=\frac{(x^2-1)(3x^2+1)}{4x^2} \leq 0$ sur $[0,1]$

$A$ est donc décroissante sur $[0,1]$ et son minimum est atteint en 1

On vérifie que $A(1)=0$ comme prévu.

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 11-09-07 à 17:13

Salut. j'ai regardé l'exercice et je ne pense pas que la réponse soit exacte. la fonction c'est g(x)=1-x² donc c'est une identité remarquable du genre a²-b² et donc la dérivé que tu as trouvé est fausse. bye

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 12-09-07 à 15:30

merci caillou car meeme si tu a mal lu l'enoncé la formule et la maniere de faire me suffise amplemnt par contre l'identité remarquable eidolem je vois pas
g(x)=1-x²
donc
g'(x)=-2x car t'additonne les dérivées de 1 (soit 0) et de -x²(soit -2x)

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 12-09-07 à 15:44

Bonjour,

Où voyez-vous, l' un et l' autre que $g(x)=1-x^2$ ?

Je lis $g(x)=1+x^2$ ou j' ai la berlue ???

Posté par re : tangente a la parabole et air minimun 12-09-07 à 16:11

autant pour moi j'avais ^pas fait attention

merci pour votre aide

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