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TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat

Posté par
wook
28-12-10 à 17:00

Bonjour,

Je dois rendre un TD de spé maths portant sur les nombres de Fermat pour la rentrée et je bloque sur la dernière question.Voici l'énoncé, je n'écris que la partie mathématique, la partie informatique n'étant pas vraiment nécessaire pour la résolution de cette dernière question.

Citation :



n désigne un entier naturel. Posons Fn+1 = 22n + 1. Chacun des nombres Fn+1 est appelé nombre de Fermat.
Le but du TP est d'étudier deux propriétés arithmétiques de ces nombres.

II)  Démonstration
1)Démontrons que pour tout entier naturel n, Fn+1 = (Fn - 1)² + 1

2)a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, n≥2
Fn est congru à 7[10]


b) Déduisons-en le chiffre des unités de Fn

3)n désigne un entier naturel
a)d est un diviseur commun à Fn et à Fn+1 . Démontrons que d divise 2.


b)Déduisons-en que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.

III)  Complément

p désigne un entier naturel. On pose Tp = 2p + 1
Nous allons prouver que, hormis T0, si Tp est premier, alors c'est un nombre de Fermat.


1) Pour x réel, x ≠ -1, calculons la somme:
S = 1 - x  + x² + … + (-1)p * xp


2) Démontrons que quels que soient les entiers naturels x et n, x (2n+1) + 1 est
divisible par x + 1


3) Déduisons-en que quels que soient les entiers naturels k et p, si k est impair,
alors 2 (2p)k + 1 est divisible par 2(2p) + 1.


4) Concluez



Voilà il me manque seulement le "concluez" où je dois déduire que hormis T0, si Tp est premier alors c'est un nombre de Fermat, malheureusement je ne vois vraiment pas par où commencer..
Certainement je dois m'aider du 3) du complément mais je n'ai pas d'idée.
Quelqu'un pourrait m'aider svp?

Posté par
wook
re : TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat 29-12-10 à 17:29

Help svp!!

Posté par
wook
re : TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat 30-12-10 à 15:56

Finalement on vient de m'envoyer la réponse à cette question, je la mets si ça intéresse quelqu'un..

4)Concluons

Supposons p entier, p ≥ 1 et Tp premier.

Par décomposition en facteurs premiers,
p= 2n* m où m est impair.

On obtient alors
Tp = (2²n)m  + 1

D'après le 3), si m > 1 alors Tp est divisible par  + 1.
De ce fait Tp admet un diviseur strict ce qui est contradictoire avec Tp premier.

On en conclut que m=1 et Tp = 2²n +1 = Fn

Ainsi si Tp est premier alors c'est un nombre de Fermat.


Voila le sujet peut être clos

Posté par
invincible17
re : TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat 06-02-11 à 17:49

Bonjour, serait-il possible d'avoir de l'aide pour le III j'ai compris la conlusion que tu as postez, mais je ne sais pas comment faire les question précédents.
J'aimerais avoir de l'aide le plus rapidement possible car je dois rendre mon devoir dans 2-3 jours.
Je vosu remercie d'avance de votre aide.

Posté par
wook
re : TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat 07-02-11 à 19:39

http://msjantibes.free.fr/file/AIACH/TS/EPREUVEPRATIQUE/TP_Nombres_de_Fermat.pdf

Tu auras tout, si tu as besoin de complément d'explications dis moi

Posté par
invincible17
re : TD Tale Spé Maths: Nombres de Fermat 07-02-11 à 20:03

Merci de ton aide, celà m'a permis de terminer et de comprendre ce que je n'arrivais pas.

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