Niveau Maths sup

terme dominant, coeff binomial.

Posté par
polka-dots 18-03-10 à 23:04

Bonsoir,

j'ai:

n! $\sum_{k=0}^n $n\\k$^2$ .

On me dit qu'il est facile de le calculer directement en dérivant n fois le terme dominant: $x^{2n}$ , et on me dit que c'est: (2n)!/n!.

D'où vient le terme $x^{2n}$ ?
Je ne parviens pas à trouver (2n)!/n!.
Si vous pouviez mdonner un ptit coup de main. Merci d'avance.

édit Océane : niveau modifié

Posté par re : terme dominant, coeff binomial. 19-03-10 à 02:48

Bonsoir,

Le polynôme de Legrendre est défini par $\textrm P_n (x) = \frac{1}{n!2^n}\frac{d^n ((x^2 - 1)^n)}{dx^n}= \frac{1}{2^n}.\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $n\\k$^2.(x - 1)^{n-k}.(x + 1)^k$

Les termes dominants de ces polynômes sont d'une part $\textrm\frac{1}{n!2^n}\frac{d^n (x^{2n})}{dx^n}$

et d'autre part $\textrm \frac{1}{2^n}.\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $n\\k$^2.x^{n-k}.x^k = \frac{1}{2^n}.\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $n\\k$^2.x^n$

Or $\textrm \frac{d^n (x^{2n})}{dx^n} = \frac{(2n) !}{n!}.x^n$

Donc $\textrm\frac{1}{n!2^n}\frac{d^n (x^{2n})}{dx^n} = \frac{1}{n!2^n}\frac{(2n) !}{n!}.x^n$

En comparant ce résultat avec le second résultat des termes dominants, nous avons :

$\textrm \frac{1}{n!2^n}\frac{(2n) !}{n!} = \frac{1}{2^n}.\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $n\\k$^2$

ou   $\textrm \frac{(2n) !}{n!n!} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} $n\\k$^2$

ou   $\textrm \frac{(2n) !}{n!} = n! \displaystyle \sum_{k=0}^{n} $n\\k$^2$

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