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th du point fixe
Bonjour tout le monde.
Dans le cadre d'une leçon de capes (et oui encore!) j'ai le théorème suivant:
Soit f:[a,b]->[a,b] continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et tel que il existe k appartenant à [0,1[ tel que pour tout x dans [a,b],
Alors f admet un unique point fixe l sur [a,b] qui est la limite de la suite définie par dans [a,b] et
Pour la démonstration pas de problème jusqu'à ce que la suite intervienne.
En effet, j'ai trouvé une démonstration où il montre d'abord que la suite est de cauchy, donc convergente et ensuite il montre que la limite c'est l.
Mais en fait, grace au théorème des accroissements finis, on a : et donc par récurrence,
et par passage à la limite, on a
donc converge vers l non? Pas besoin de montrer qu'elle est de cauchy?
Bonjour
Si, si pour montrer que l existe tu es bien obligé de passer par le fait qu'elle est de Cauchy!
La démarche est: accroissements finis 
k-lipschitzienne (avec 0
k < 1) Cauchy converge
et on finit en montrant que la limite est bien un point fixe.
Bonjour Camélia.
Ca m'embête beaucoup ça!
Mais apparemment, pas possible d'y échapper!
Je vais donc prendre la démonstration que j'ai trouvé!
merci!
Bonjour,
Dans le cas particulier d'une fonction de [a,b] dans [a,b] on n'a pas besoin des suites de Cauchy car la fonction continue g(x)=f(x)-x s'annule exactement une fois sur [a,b]: g(a)
0 , g(b) 0 et g'(x)=f'(x)-1 < 0 donc g décroit strictement.
Puis on termine comme a dit mouss33.
sauf erreur bien entendu
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