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Théorème d'Al Kashi
Bonjour, je suis en 3ème, mais mon prof m'a donné un DM niveau 1ère, et j'y arrive pas! J'aurais besoin d'aide, s'il vous plaît. Le voici:
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle quelconque dont les angles sont aigus, et H le pied de la hauteur issue de A relative au côté [BC] (là je crois qu'il s'est trompé).
On note a=BC, b=AC, c=AB et x=B^C^A (<- c'est un angle).
2) a) montrer que c² = (asin(x))²+(b-acos(x))²
b) Développer (b-a cos(x))²
c) En déduire que c²=a²+b²-2abcos(x)
Je sais pas comment faire!
Je crois que j'ai compris le a): il faut utiliser le théorème de Pythagore.
Je vais essayer la suite...
J'ai du mal à développer
(b-acos(x))²
b² + (acos(x))²-2bacos(x)
b² + a²(cos(x))² - 2bacos(x)
Qu'est-ce que je fais après? et est-ce que ce que j'ai fait c'est bon?
Bonsoir.
Tout ce que tu as fait est bon.
2°) c).
a) et b) => c² = a²(sin(x))² + b² + a²(cos(x))² - 2abcos(x).
Or, tu sais que (cos(x))² + (sin(x))² = 1, donc ...
A plus RR.
Je crois que j'ai trouvé:
(b-acos(x))²
a²+b²-2abcos(x). Mais y'a pas une autre étape entre la 1ère et la 2ème?
Bonsoir, et merci Raymond, mais j'ai du mal à suivre ta logique... comment veux-tu en déduire que c²=a²+b²-2abcos(x)?!
Bonjour,
Tu as montré en question 2)a) que c² = (asin(x))²+(b-acos(x))²
En 2)b) tu as développé (b-a cos(x))² , qui est le dernier terme de l'égalité précédente :
(b-acos(x))²
b² + (acos(x))² - 2bacos(x)
b² + a²(cos(x))² - 2bacos(x)
En 2)c) il faut reprendre l'égalité de la question 2)a) en remplaçant le dernier terme par son développement que tu as donné en 2)b):
c² = (asin(x))² + b² + a²(cos(x))² - 2bacos(x)
c² = a²(sin(x))² + b² + a²(cos(x))² - 2abcos(x)
Il faut maintenant simplifier en utilisant la relation indiquée par Raymond :
(cos(x))² + (sin(x))² = 1
pour cela on factorise les deux termes en a² :
c² = a²[(sin(x))² + (cos(x))²] + b² - 2abcos(x)
La partie entre crochets vaut 1, donc on a:
c² = a² + b² - 2abcos(x)
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