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théorème d'inversion locale
Bonjour, il y a un exercice que je ne comprends pas bien.
Voici l'énoncé: Soit E un R espace de banach et g aui appartient au aux applications de classe C1 tel que la norme que dg(x) soit inverieur ou égale à k, qui est strictement inférieur à 1, pour tout x
E, k donné. Soit f(x)= x+ g(x)
Montrer que f est un difféomorphisme locale.
Pour montrer qu'il réalise un difféomorphisme, il faut montrer que df(x) appartient aux isométries de E dans E et appliquer le théorème d'inversion locale.
Alors on sait que df(x) est linéaire continue car c'est une différentielle et par définition même de la différentielle. g(h)=df(x).h est une application linéaire continue.
De plus on a que la norme de df(x)=Id + dg(x) avec norme de dg(x) strictement inférieur à 1. La je bloque puisque je ne comprends pas en quoi cette inégalité nous permettrait de conclure que df(x) est bijective, et ainsi d'appliquer le théorème de Banach. (si f est une application linéaire continue, bijective de E dans F alors elle réalise un isomorphisme de E dans F).
Donc si on Id-u avec norme de u inférieur ou égale à 1, et u une application linéaire continu. On peut dire que Id-u est inversible et son inverse c'est la somme des u^n.
Donc comme elle est inversible, ça implique qu'elle est bijective.
Donc dans mon cas Id+u inversible et d'inverse somme (-u)^n , donc elle est bijective.
Sinon pour le reste c'est bon, quand on veut montrer que df(x) réalise un isomorphisme, il suffit de montrer qu'elle est bijective et d'appliquer le théorème de banach?
et merci estafette.
pas de réponse, toute façon je pense que c'est réglé.
Une autre question quand vous voulez montrer qu'une application bilinéaire f est de classe C1 .
Est ce que ça suffit pour le justifier de montrer que
f(X, Y)<=K*
X*Y
avec K
Ou est ce qu'il faut expliciter la démonstration à partir de cette inégalité de la différentiabilité de f, et de la continuité de sa différentielle.
F , la différentielle de f 
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