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théorème d'inversion locale bis
Bonsoir, c'est un autre exo et la je bloque lorsqu'il faut montrer que d
est bijective. Ensuite une fois qu'on a montré que d est un isomorphisme on applique le théorème d'inversion locale.
Voici l'énoncé Soit E0 banach, fonction continue sur [0,1]
||f||
= sup|f(x)| x
[0,1]
E1 banach, fonction continu derivable sur [0,1] , f(0)=0
||f||1=sup||f'(t)|| t[0, 1]
: E1
E0
(f)=f'
d(f).h=h'
(f+h)= f' + h'
On veut montrer donc que d est un isomorphisme locale d'un voisinage de 0E1 dans un voisinage de 0E0
Pour ça il faut montrer que d(0) est bijective de E1 dans E0
J'ai un petit bout de piste, on dit que
H E0 on veut trouver un antécédent de H , h tel que h'=H et h(0)=0, on prend h(t)=
t0H(t)dt
Voila voila, (le petit bout de piste s'arrête la) je vois pas en quoi le fait qu'on est trouvé un antécédent, nous permettrait de conclure que d est bijective , on sait à partir de ça qu'elle est surjective.
Salut 
L'injectivité est claire ici: le noyau de phi'(0) est constitué des fonctions de dérivée nulle (constantes donc) qui s'annule en 0... Et yen a pas des masses. 
merci beaucoup beaucoup pour ta réponse (j'espère que j'en fais pas trop).
Ce que tu me dis c'est que d(f).h=(h)
car est linéaire continu, ça implique aussi que si Ker ={0} alors est injective.
Et il y a une seule application de dérivée nul donc constante, et donc la primitive s'annule en 0, c'est 0.
J'ai bien comprit le truc?
et encore merci (la j'en fais trop).
Si je comprends bien
E0 est l'ensemble des applications continues de K = [0 , 1] dans 
.
E1 est l'ensemble des applications qui sont dérivables nulle en 0 et dont la dérivée est continue .
Vous (berserk , 1 Schumi 1) semblez savoir que :
1.Ce sont des -ev .
2.N0 : f 
Sup(|f|) (de E0 vers est une norme sur E0 et que (E[0,N0) est complet .
3..N1 : f Sup(|f '|) (de E1 vers est une norme sur E1 et que (E1,N1) est complet .
.Si f E0 je pose U(f) : x = 0x f ( la primitive de f qui s'annule en 0 ).
U est linéaire de E0 vers E1
Pour tout f E0 on a : N1(U(f)) = Sup((U(f)) ') = N1(f) . Ainsi U est continue .
U est donc différentiable partout et pour toute f E0 on a : dU(f) = U .
.Si g E1 je pose V(g) = g ' .
V est linéaire E1 vers E0 .
Pour tout g E1 on a : N0(V(f)) = N1(g) . Ainsi V est continue .
V est donc différentiable partout et pour toute g E1 on a : dV(g) = V .
.On a : U o V = IdE1 et V o U = IdE0
U et V sont donc des isomorphismes inverses l'un de l'autre.
Si vous voulez vous compliquer l'existence avec de "gros" théorèmes ....
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