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Théorème de la Médiane / ensemble de points
Bonjour j'ai un devoirs non surveillé a rendre et je n'arrive pas a résoudre un exercice... je vous remercie d'avance pour l'aide que vous allez m'apporter.
Soit ABC un triangle rectangle tel que AB = 4 et AC = 6 et soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [IC].
Soit T l'ensemble des points M du plan tels que MA²+MB²+2MC² = 66.
On se propose de déterminer de deux manières différentes la nature de T.
1ère méthode :
1) Démontrer que B appartient a T.
2) En utilisant deux fois le théorème de la médiane, démontrer que
M
T 
4MJ²+(AB²/2)+IC² = 66.
3) En déduire la nature de T.
2ème méthode :
On utilise le repère orthonormal ( A,1/4AB(vecteur),1/3AC(vecteur) ).
1) Démontrer que M(x;y) T x²+y²-2x-3y-8 = 0.
2) En déduire la nature de T.
voilà mon exercice.
aidez moi pour la première méthode svp MERCI
Bonjour
Il semble y avoir un problème dans l'énoncé :
Si on en croit la question 2) B doit appartenir à (T), donc on doit avoir :
BA²+BB²+2BC² = 66
donc 16+2BC² = 66 qui conduit à BC = 5
Le triangle ABC aurait alors pour dimensions 4, 5, 6 et ne saurait donc être rectangle.
sauf erreur
Sinon, pour la suite :
M appartient à (T) si et seulement si : MA²+MB²+2MC² = 66
En appliquant le théorème de la médiane on obtient :
autrement dit
Et une deuxième fois le même théorème :
et on obtient le résultat escompté.
Il s'ensuit que JM² est une constante, donc que l'ensemble cherché est soit l'ensemble vide, soit le singleton {J}, soit un cercle de centre J.
or B appartient à (T) (sous réserve de l'exactitude de l'énoncé), donc (T) est le cercle de centre J et de rayon JB
Sauf erreur
OUI excusez-moi le triangle ABC est rectangle en A.
Donc pouvez-vous me réexpliquer votre méthode pour démontrer que B appartient à T s'il vous plait ?
Merci d'avance.
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