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théoréme de Lagrange

Posté par
flea 13-12-09 à 14:29

bonjours a tous !

voila , je suis en L2 d'éconoie géstion et j'ai un petit souci en maths .

voila mon énnoncé :

on considére le domaine D d'équation x²+y²=36 et la fonction f de R2 dans R définie par f(x,y) = 3x+4y trouver les extrémums éventuels de f .

bon alors je sais qu'il fau uriliser Lagrange

je pense savoir qu'il fau calculer les dérivée partielles de 3x+4y mais appres , comment procéder ?

pouriez vous m'aider s'il vous plait ??

merci

Posté par
Camélia Correcteurre : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:05

Bonjour

Il y a éventuellement un extremum au point (a,b) de D si

Det\(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) & \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\\ \frac{\partial F}{\partial x}(a,b) & \frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\end{array}\)=0

avec F(x,y)=x^2+y^2

Posté par
fleare : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:11

oui mais normalement on devrait avoir un systeme avec lambda par éxemple :

3=lambda x
4= Lambda y
f(x,y)=x²+y²

un systeme qu'il faudrai ensuite résoudre non?

Posté par
Camélia Correcteurre : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:22

Ah, bon, ça revient au même.

Il faut trouver les points (a,b) de D pour lesquels il existe \lambda tel que
\{\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lambda\frac{\partial F}{\partial x}(a,b)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lambda\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)

ce qui dans le cas présent revient à

\{3=2\lambda a\\ 4=2\lambda b\\ a^2+b^2=36

Posté par
fleare : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:30

comment fais tu pour trouver

le 2 dans 2Y ?

comment faut il procéder pour trouver ce systeme d'équation

merci camelia !

Posté par
Camélia Correcteurre : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:32

Je t'ai écrit le système dans le cas général. Ici, avec F(x,y)=x^2+y^2, \frac{\partial F}{\partial x}=2x

Posté par
fleare : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:35

ha oui d'accord c'est la dérivée partielle de x²+y² en fonction de x en faite
donc dans un premier temps
on fait la dérivée partielle de 3x+4y en fonction de x et aprés on fait = la dérivée partielle du domaine en fonction de x c'est sa ?

Posté par
Camélia Correcteurre : théoréme de Lagrange 13-12-09 à 15:46

Oui, c'est à peu près ça...

Posté par
bamboumre : théoréme de Lagrange 16-12-09 à 00:52

Moi j'écrirais 3 dx + 4 dy = 0
Ce qui fait dy/dx = -3/4 donc un angle de la tangente au cercle de rayon 6 égal à -36,87° ou 143,87°.
Après j'ai x=cos et y=sin

Posté par
bamboumre : théoréme de Lagrange 16-12-09 à 00:58

Moi j'écrirais 3 dx + 4 dy = 0
Ce qui fait dy/dx = -3/4 donc un angle de la tangente au cercle de rayon 6 égal à -36,87° ou 143,87°.
Après j'ai x=cos et y=sin
Donc rien de Lagrange....
Mais si on veut utiliser les multiplicateurs de Lagrange alors on trace le cercle de rayon 6 et on regarde quand la courbe 3x+4y= est tangente au cercle.
Au fond c'est bien un peu pareil que ma première proposition.


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