Bonjour, alors voilà j'ai un petit problème pour un exercice en spé maths parce que j'ai trouvé les réponses mais je trouve que ma justification est mauvaise.
L'énoncé est le suivant :

Joseph Wolstenholme (1829-1891) a été professeur à l'université de Cambridge. L'exercice qui suit est l'étude d'un cas particulier du théorème de Wolstenholme.
m est un entier naturel. On considère l'équation mx congrue à 1 (mod 7²) d'inconnue x.
Si, pour un entier m donné, cette équation admet une unique solution entière x entre 0 et 48, on note m* cette solution.

1. En donnant à m successivement les valeurs 1,2,3,4,5,6, justifiez que m* existe et complétez le tableau suivant :

m 1 2 3 4 5 6
m*

m* est appelé inverse de m modulo 7².
2. Vérifiez que 1*+2*+3*+4*+5*+6* congrue à 0 (mod49)

Mes réponses :

1.   m 1 2 3 4 5   6
       m* 1   25   33  37  10   41

Pour trouver ces réponses, j'ai remplacé à chaque fois donc m par le chiffre attribué et j'ai résolu mx congrue à 1 (mod7²). Pour m=1, c'est évident mais pour les autres, j'ai fait de la manière suivante. En effet, je sais d'après l'un des théorèmes de mon cours que 50 ; 99 ; 148 et 249 sont congrue à 1 modulo 7². Donc par exemple pour 2, j'ai fait :
Comme 50 congrue à 1 (mod 49) alors si 2x congrue à 50 congrue à 1 (mod7²) donc x congrue à 25 (mod 7²).
Je suis obligée de passer par quelque chose comme ça puisque je ne peux pas diviser avec les congruences, on a appris qu'à les multiplier ( donc pour m=2, j'ai multiplié par 1/2 pour faire disparaître le 2).

C'est ici que la rédaction me gêne et que j'aurais besoin de vous!

2. 1*+2*+3*+4*+5*+6* = 1+25+33+37+10+41 = 147 et après vérification 147 est bien congrue à 0 (mod 49).
Ce qui confirme donc la véracité de mes résultats.

Je vous remercie d'avance pour votre aide !