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théorème des accroissements finis
Bonjour , je ne comprends absolument pas la démonstration du théorème des accroissements finis , il est dit sur wikipédia que la fonction :
f(x) - (f(b) - f(a))/(b-a) * (x-a) prends la même valeur en a et en b .
Déjà d'où sort cette fonction f(x) elle représente quoi ? Ensuite ce (x-a) d'où vient il lui aussi...
Et finalement si on prend a = 1 , b = 2 , f(b) = 8 et f(a) = 2 , on a f(x) - 6x + 6 , je vois aucune égalité de f(b) et f(a) là dedans..
Quelqu'un pourrait il m'éclaircir ?
merci
Bonjour ,
On peut voir le théoreme des accroissements finis comme un corollaire au théoreme de Rolle ( tu connais ? ) et c'est ce que propose Wikipédia.
L'objectif est de montrer que :
Si f est une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[
Alors il existe un c dans ]a,b[ tel que .
dem:
Soit donc f une fonction qui vérifie nos hypotheses : c'est à dire continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Montrons qu'il existe un c dans ]a,b[ tel que :
Comme on veut utiliser la théoreme de Rolle, on va créer une toute nouvelle fonction qui va vérifier le Th de Rolle, appelée g et définie par .
-g est-elle continue sur [a,b]? dérivable sur ]a,b[ ?
-Que vaut g' sur ]a,b[ ?
-Que vaut g(a) ? g(b) ?
Une fois que tu as toutes les réponses à ces questions, tu peux appliquer le Th de Rolle à g, et tu en déduis la relation .
salut narhm , prenons g' , g' vaut :
f'(x)
g(a) vaut f(a) , g(b) vaut f(b) et ça ne prouve rien du tout j'ai l'impression...
On a sur [a,b] :
par définition, n'est ce pas ?
Comme f est continue sur [a,b] et que est continue, g l'est aussi.
Comme f est dérivable sur ]a,b[ et que est aussi dérivable sur ]a,b[, g l'est aussi.
On peut donc calculer la dérivée de g.
Tu as fait une erreur ici pour la dérivée de g. Ce n'est pas que f'(x), il y a autre chose aussi.
Ensuite :
non ?
Bon , le théoreme de Rolle dit ca:
Si g est une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et telle que g(a)=g(b)
Alors il existe c dans ]a,b[ tel que g'(c)=0.
On vient de montrer que la fonction est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et que g(a)=g(b) non ?
Qu'en déduis-tu sur g' ?
Pour tout x dans ]a,b[, .
On vient de montrer que la fonction
Tu peux appliquer le Théoreme de Rolle à g non ?!
-> Ca implique qu'il existe un c dans ]a,b[ tel que g'(c)=0.
-> il existe un c dans ]a,b[ tel que f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
-> il existe un c dans ]a,b[ tel que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) !!
Il me semble que c'est ce qu'on voulait non ?
Bonsoir
Déjà d'où sort cette fonction f(x) elle représente quoi
la deuxième partie de la fonction:
t est une fonction affine car
donc , comme g(x) = f(x) - t(x) , g est la différence entre la fonction f et la fonction affine qui joint les points A et B de coordonnées respectives(a;f(a)) et (b;f(b)).
En clair, tu construis les points A (a;f(a)) et B (b;f(b)) de la courbe de f. Tu traces le segment qui les joint :il représente la fonction t.
La fonction f part de A et arrive à B, en faisant un trajet continu.
La fonction g est simplement la différence entre les deux courbes.
Le Th de Rolle dit que puisque cette différence g(x) est nulle en a et b, alors la fonction g'(x) s'annulle quelque part sur le segment. Ce qui donne, en développant, le Th des accroissements finis.
J'espère avoir été clair...
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