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Théorème des résidus

Posté par
Skops 22-10-09 à 19:18

Bonsoir,

On cherche à calculer l'intégrale 4$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2e^{ikx}}{(x^2+1)^2}.

Pour cela, on pose la fonction analytique 4$g_k(z)=\frac{z^2e^{ikz}}{(z^2+1)^2}.

Pôles : Les pôles de cette fonction sont i et -i et ils sont doubles.

Calcul des résidus :

4$Res(f,i)=\lim_{z\to i}\frac{d}{dz}((z-i)^2f(z))=\frac{ie^{-k}(k-1)}{4}

4$Res(f,-i)=\lim_{z\to -i}\frac{d}{dz}((z+i)^2f(z))=\frac{ie^{k}(1+k)}{4}

Définition du contour de Jordan : Je choisis comme contour de Jordan, le demi-cercle de rayon R centré en 0 dans le demi plan imaginaire positif.

Le demi-cercle à comme paramétrisation 4$z(\theta)=Re^{i\theta}

Lemme de Jordan du grand arc de cercle :

4$|zf(z)|=|Re^{i\theta}||\frac{R^2e^{2i\theta}e^{ikRe^{i\theta}}}{(R^2e^{2i\theta}+1)^2}|

4$|zf(z)|=\frac{R^3e^{-kRsin(\theta)}}{1+2R^2cos(2\theta)+R^4^}\equiv \frac{e^{-ikRsin(\theta)}}{R}

Le lemme de Jordan n'est donc verifié que pour 4$k\ge 0

On en déduit que pour 4$k\ge 0, d'après le théorème des résidus :

4$\int_{\gamma}f(z)dz=I=2i\pi\times Res(f,i)=\frac{\pi e^{-k}(1-k)}{2}


Pour k<0, il faut prendre le demi cercle dans le plan imaginaire négatif et on aura

4$\int_{\gamma}f(z)dz=I=2i\pi\times Res(f,i)=\frac{-\pi e^{k}(1+k)}{2}

Au final, on a 4$I=\frac{sgn(k)\pi e^{-|k|}(1-|k|)}{2}

Est ce juste ?

Skops

Posté par
Narhmre : Théorème des résidus 22-10-09 à 23:27

Bonjour,

Je suis d'accord avec toi, jusqu'à : 4$\int_{\gamma}f(z)dz=I=2i\pi\times Res(f,i)=\frac{-\pi e^{k}(1+k)}{2}
Il y a un signe moins qui doit apparaitre devant ta somme et le résidu est sur -i.
Ca doit te donner avec k<0: 4$\int_{\gamma^'}f(z)dz=I=-2i\pi\times Res(f,-i)=-2i\pi\times\fr{ie^k(k+1)}{4}=\fr{\pi}{2}(1+k)e^k

Donc au final, on se retrouve avec 3$ I=\fr{\pi}{2}e^{-|k|}(1-|k|)

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus 24-10-09 à 18:36

Merci beaucoup

Skops


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