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Théorème des résidus autour d'un rectangle

Posté par
Skops 25-10-09 à 11:36

Bonjour,

On veut montrer que 4$\int_0^{+\infty}\frac{ch(ax)}{ch(x)}dx=\frac{\pi}{2cos(\frac{\pi a}{2})} avec a € ]-1;1[.

On introduit la fonction holomorphe 4$F(z)=\frac{e^{az}}{ch(z)}

Pôle : On a des pôles simples en 4$z_k=i(\frac{\pi}{2}+k \pi)

Calcul des résidus :

On a 4$ch(z_k)=ch(z_k)+(z-z_k)sh(z_k)+o(|z-z_k|)

Donc 4$Res(f,z_k)=lim_{z\to z_k}(z-z_k)f(z)=\frac{e^{az_k}}{sh(z_k)}

On introduit le contour rectangulaire de sommet (-R, R, R+i, -R+i)

Donc 4$\int_{\Gamma}\frac{e^{az}}{ch(z)}=\int_{-R}^{R}\frac{e^{at}}{ch(t)}dt+i\int_{0}^{\pi}\frac{e^{a(it+R)}}{ch(it+R)}dt+\int_{R}^{-R}\frac{e^{a(t+i\pi)}}{ch(t+i\pi)}dt+i\int_{\pi}^{0}\frac{e^{a(it-R)}}{ch(it-R)}dt

Et là, je ne vois plus trop comment avancer.
J'ai essayé de rassembler les deux intégrales de -R à R pour essayer de faire apparaitre l'intégrale à calculer mais je n'arrive pas à former du ch(at) au numérateur.

Une piste s'il vous plait

Skops

Posté par
oliveirore : Théorème des résidus autour d'un rectangle 25-10-09 à 11:46

Salut,

à première vue, tu pourrais utiliser ch(t) + sh(t) = exp(t).

Posté par
esta-fettere : Théorème des résidus autour d'un rectangle 25-10-09 à 11:47

bonjour,

je n'ai pas regardé attentivement,

mais la fonction ch est paire et on peut couper l'intégrale de -R à r en 2 morceaux qu'on réassemble....


4$\int_{-R}^{R}\frac{e^{at}}{ch(t)}dt =

4$\int_{-R}^{0}\frac{e^{at}}{ch(t)}dt+\int_{0}^{R}\frac{e^{at}}{ch(t)}dt


4$\int_{0}^{R}\frac{e^{-at}}{ch(t)}dt+\int_{0}^{R}\frac{e^{at}}{ch(t)}dt

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus autour d'un rectangle 25-10-09 à 11:58

Pourquoi un - dans l'exponentielle ?

Skops

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus autour d'un rectangle 25-10-09 à 14:00

Comment peut on faire pour transformer le t+i pi dans l'exponentielle a(t+i pi) pour avoir du ch(at) ?

Skops

Posté par
esta-fettere : Théorème des résidus autour d'un rectangle 25-10-09 à 16:18


4$\int_{-R}^{0}\frac{e^{at}}{ch(t)}dt

si on posu u=-t
e^{at}=e^{-au} \\ ch(t)=ch(u) \\ du=-dt

donc c'est égal à

4$\int_{-R}^{0}\frac{e^{-au}}{ch(u)}-du

4$\int_{0}^{R}\frac{e^{-au}}{ch(u)}du

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus autour d'un rectangle 26-10-09 à 23:17

Et comment montrer que la somme des intégrales imaginaires sont nulles ?

Skops

Posté par
esta-fettere : Théorème des résidus autour d'un rectangle 27-10-09 à 09:51


4$ i\int_{0}^{\pi}\frac{e^{a(it+R)}}{ch(it+R)}dt+i\int_{\pi}^{0}\frac{e^{a(it-R)}}{ch(it-R)}dt

on pose u = -t

4$ i\int_{0}^{\pi}\frac{e^{a(it+R)}}{ch(it+R)}dt+i\int_{\pi}^{0}\frac{e^{a(-iu-R)}}{ch(iu-R)}-du

Posté par
esta-fettere : Théorème des résidus autour d'un rectangle 27-10-09 à 09:55

pardon, c'est parti trop vite...

\\ 4$ i\int_{0}^{\pi}\frac{e^{a(it+R)}}{ch(it+R)}dt+i\int_{\pi}^{0}\frac{e^{a(it-R)}}{ch(it-R)}dt

on pose u = -t

4$ i\int_{0}^{\pi}\frac{e^{a(it+R)}}{ch(it+R)}dt+i\int_{\pi}^{0}\frac{e^{a(-iu-R)}}{ch(-iu-R)}-du

d'où (ch paire)

4$ i\int_{0}^{\pi}\frac{e^{a(it+R)}-e^{a(-it-R)}}{ch(it+R)}dt

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus autour d'un rectangle 27-10-09 à 16:53

Mince, j'y étais presque arrivée...

Skops

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus autour d'un rectangle 27-10-09 à 16:53

Merci en tout cas

Skops

Posté par
Skopsre : Théorème des résidus autour d'un rectangle 27-10-09 à 17:21

Mais il y a un problème de borne non ?
Tu poses u=-t mais dans ce cas, on va bien de -pi à 0 non ?

Skops


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