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Thm de Rolle
Bonjour,
j'aimerai démontré le thm du Rolle par contraposition et par l'absurde.
Je rappelle:
"Soit f:[a,b]->R, (a,b)éléments de R², a<b:
f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, f(a)= f(b) 
c
]a,b[, f'(c)=0
Par contraposition:
Supposons:
c]a,b[, f'(c)
0, alors f
**1er cas: est strictement croissante, d'où a<bf(a)<f(b)
**2eme cas:est strictement décroissante, d'où a<bf(a)>f(b)
Dans les deux cas f(a)f(b)
Comment je peux prouver que f est non dérivable sur [a,b] et non continue sur ]a,b[ ?
Par l'absurde:
Supposons f non continue sur [a,b], non dérivable sur ]a,b[, f(a)f(b)... mais je ne vois pas comment poursuivre ce raisonnement.
Merci!
Bonjour,
Quoi j'ai rien compris?
Tu sais que f' n'est pas forcément continu.
Je comprends pas ce que t'essaie de faire. Le raisonnement par l'absurde a peu de chance d'aboutir ici.
D'autant plus que par l'absurde c'est pas tout tout ca qu'il faudrait faire, et que tu t'es en plus trompé dans la contraposée de "f non dérivable et non continue".
Ca va vraiment très mal ...
Ok pour la raisonnement par l'absurde
Pour le raisonnement par contraposition, comment rédigeriez-vous la contraposée alors ?
Le raisonnement que je fais est simple pourtant.. Je ne vois où c'est confus...
Merci!
Pour une application u de [a , b] dans 
les propriétés P1 et P2 suivantes ne sont pas équivalentes :
P1 : ( x [a , b] , u(x) 0 )
P2 : ( x [a , b] , u(x) > 0 ) ou ( x [a , b] , u(x) < 0 )
Donc a priori les 2 cas que tu considères ne sont pas exhaustifs.
Il est clair que P2 P1
Par contre il y a des u qui vérifient P1 mais pas P2
Par exemple tu poses u(a) = 1 et u(x) = -1 )pour x ]a , b]
u ne s'annule pas mais ne garde pas un signe constant.
Si ça t'intéresse tu peux en trouver bien d'autres. Mais pas de continues !
Ah je suis bête, pour démontrer Darboux, il faut avoir le théorème de Rolle...
Bon et bien, ta preuve par l'absurde a peu de chances d'aboutir en effet.
Il vaut mieux considérer un point c où f atteint son maximum et dire que f'(c)=0 si c n'est pas a ou b.
Si c=a ou c=b, tu prends le minimum et c'est pareil.
Oui je l'ai déjà faite par raisonnement direct. Avez-vous une rédaction pour la contraposition? Ca m'intéresse!
La preuve par contraposition n'est pas non plus simple a écrire, je ne vois pas d'autre moyen qu'une démonstartion directe.
Le truc c'est que la négaltion de il existe c tel que f'(c)=0, n'est pas commode a utiliser et comme il a été dit plus haut, ce n'est pas f' est de signe constant sur ]a,b[ (mais ceci serait vrai si f était suposé de classe C1).
Donc si tu connais la preuve par une démo directe, ben tu ne pourras pas faire beaucoup plus.
C'est dommage j'aurai bien aimé... Mais je ne comprends pas mon erreur justement sur la négation de la propriété de droite et sur les deux cas que j'étudie. Je raisonne sur f'(x)=0 donc à priori f'(x)>0 ou f'(x)<0. Quels autres cas envisager?
Merci!
C'est bien sur vrai que pour tout x, f'(x) est soit >0 soit <0, le probleme c'est que ca depend de x, et que tu peux avoir a priori des x pour lesquels f'(x)>0 et d'autres pour lesquls f'(x)<0, et donc tu ne peux rien en conclure sur la croissance ou la decroissance de f.
Le probleme vient de la continuité de f' qui n'est pas forcement garantie.
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