(pardon pour le titre, je divaguais....)

Bonjour
le seul problème est en 0, et tu peux majorer |f(x)| facilement ....

Je dois partir de la définition >0,>0/xRVa,|f(x)-l|.

Je ne vois juste pas trop comment l'appliquer...

Salut, tu as . Puis, un passage à la limite dans la dernière inégalité et le théorème d'encadrement permet de conclure. Il me semble.

Bonjour

Cependant j'ai donc g(x) qui a une limite entre - l'infini et + l'infini, ça ne m'avance pas trop non ?

Par ce que je sais qu'elle est continue pour tout x non nul. Je dois donc montrer que les deux limites à droite et à gauche de 0 sont égales pour conclure que g est continue sur tout x.
Enfin c'est un peu confus dans ma tête, je ne sais pas exactement tout ce qu'il faut faire...

Non, tu sais que pour x non nul, g est continue comme composée et produit de fonctions continues. Le problème est uniquement en 0. Cette inégalité te permet de régler ce cas là uniquement!

D'accord mais concrètement on montre quoi là ? Parce que pour qu'elle soit continue il faut harmoniser pour tout x non ? c'est ça que je ne comprend pas!

Bon reprenons!

Soit x est non nul, est dans ce cas g est continue comme composée et produit de fonctions continues.

Soit x est nul. On veut prouver la continuité de g en 0 c'est-à-dire . Mais on a et donc par le théorème d'encadrement et le fait que , on a . Comme , on a bien c'est-à-dire g continue en 0.

C'est mieux ?

Je suis allé un peu vite! On veut prouver que . On va montrer que (i) et (ii) .

On fait tendre x vers 0 par valeurs positives : (car x est positif) et donc .

Maintenant, on fait tendre x vers 0 par valeurs négatives : (car x est négatif) et donc .

Finalement, : c'est donc bien que et donc la continuité de g en 0 est assurée.

Il me manquait juste le lim g(x)=0=g(0) j'avais pas trop assimilé, merci beaucoup