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Tore et plan bitangent
Bonjour,
Je sèche sur un truc. J'ai un tore et un plan bitangent à deux méridiennes de ce tore. Il s'agit de montrer que l'intersection du tore et de ce plan bitangent est constitué de deux cercles.
Je vois bien à quoi tout ça correspond. Je sais aussi que ces deux cercles sont les cercles de Villarceau.
Le problème c'est que je ne sais pas comment m'y prendre pour le montrer.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci
Je dirai bien que la projection orthogonale des cercles de Villarceau nous donnent les cercles concentriques obtenus avec l'intersection du plan z=0
Mais la je me perds avec les projections orthogonales dans un repère à 3 dimensions
Mais si, dans wiki il y a l'écriture complète de l'intersection dans un cas particulier. Il suffit d'imiter dans le cas général.
Si on part de l'équation
On commence par écrire le plan l'équation d'un plan tangent en un point où x=0 et on le choisit de manière à ce qu'il passe par l'origine. Ensuite, ça vient tout seul!
l'équation de mon tore est et l'équation de la tangente est
Et partant de ça je suis désolée mais je ne vois pas comment faire...
Oui, c'est bien de ce genre. Tu as donc une équation de la forme z=
y. Tu remplaces z par ça dans l'équation, et ça doit pas mal s'arranger.
Bonjour
J'ai enfin eu le temps de regarder.
Je prends l'équation du tore sous la forme
Si P est un plan bitangent d'équation on voit assez facilement (à partir de ta formule, où en regardant dans le plan x=0) que
Je choisis
dans le plan P je prends la base orthonormée où
Un élément quelconque de P s'écrit donc
Je te laisse le plaisir de vérifier que si les coordonnées de cet élément vérifient l'équation ci-dessus du tore, on a
ce qui fait bien la réunion de deux cercles.
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