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Toujours sur des sous-variétés ...
Soient et
.
Montrer que ce sont des sous-variétés de classe de
et
, puis déterminer leur dimensions et leurs plan tangent en 0.
Bon alors, je pose qui est
, je calcule sa matrice jacobienne et je trouve
qui est de rang au plus 1, mais c'est 1 à cause de la dernière composante qui est toujours non nulle. Donc le théorème (porte-t-il un nom ?) s'applique,
est sous-variété de classe
de co-dimension 1 et de dimension 3-1=2 : c'est une surface.
Son plan tangent en 0, je cherche le noyau de la jacobienne et je trouve qu'une équation de ce plan est .
Pour le second, même combat ! Je pose et
et
: f est bien de classe
et sa matrice jacobienne est
qui est de rang au plus 2.
Le rang est 0 ssi c'est la matrice nul, donc ssi , mais ce point n'est pas sur
.
On regarde tous les déterminants d'ordre 2 : ils sont tous nuls, sauf 4 ou on trouve . Pourqu'ils soient tous nul, il faut et il suffit que
ou
et alors dans ce cas la matrice sera de rang 1. Seulement les points tels que
ou
ne sont pas sur
.
Donc est de rang 2 sur toute
, qui est donc une sous-variété selon le théorème de co-dimension 2 et de dimension 4-2=2 : toujours une surface.
Est-ce correct ?
Cool
Par contre, si on me dit trouver le plan tangent au point 0, dois-je calculer le noyau au point 0 ?
Donc ici, ça donnerait une équation très réduite du type (on fait le 0 dans
?
Pour S_1 c'est bien ça. le plan tangent en 0 est le plan xOy ce qui n'a rien de scandaleux!
Et pour
Quelle est l'équation du plan
Cette fois tu ne dis pas en quel point tu te places, mais en un point x de l'équation est
ce qui est bien l'équation d'un plan de 
4! Une base est par exemple
Je cherche deux éléments linéairement indépendants qui vérifient l'équation! Cette écriture évite de discuter sur qui est nul ou non nul... Sinon, de la première équation, on tire h_2=-(x_1/x_2)h_1 si , donc déjà
est un vecteur du plan, puis pareil pour l'autre...
Oui, bien sur, c'est un tore plongé dans . L'homéomorphisme est évident,
et chaque bout est clairement un cercle!
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