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Traçage d'une courbe d'une exponentielle
Bonjour,
Je commence tout juste le cours sur la fonction exponentielle et j'aurais besoin d'un peu d'explication pour comprendre une question à laquelle notre professeur nous a demandé de réfléchir pour lundi.
Tracer point par point Cf avec :
| f' = 2f+1
|f(0) = 1
Merci d'avance !
bonjour
l'approximation affine...
f(a + h) = f(a) + h.f'(a)
exemple:
f(0 + 0.5) = f(0) + 0.5.f'(0) .....on obtient plusieurs points..
Bonjour mdr_non,
J'avais trouvé cela.
Pour a=0 et h=0.1
f(0+0.1) = f(0.1) = f(0) + 0.1f'(0).
f'(0) = 2*f(0)+1 = 2*1 + 1 = 2 ?
Donc f(0.1) = f(0) + 0.1*(2*f(0)+1) = 1 + 0.1*2 = 1.2 ?
Comment puis-je taper f sur Sine Qua Non pour afficher cette fonction ?
Que vaut f ?
Merci de m'éclairer encore 
f'(0) = 2*f(0)+1 = 2*1 + 1 = 2 ?
non!
pas: h = 0.1
f(0 + 0.1)
f(0) + 0.1.f'(0) 1 + 0.1
3 1.3
f(0.1) = 1.3
on recommence...
f(0.1 + 0.1)
f(0.1) + 0.1.f'(0.1) 1.3 + 0.13.6 1.66
f(0.2) = 1.66
.......
si c'est la courbe exponentielle que tu traces, tu peux tracer la courbe de f avec la méthode d'Euler (approximation affine)
et la comparer avec g(x) = exp(x) (je n'écris pas e avec l'exposant car je suppose que tu l'as pas encore vu ?)
Comment puis-je taper f sur Sine Qua Non pour afficher cette fonction ?
Que vaut f ?
Sine Qua Non ? c'est un logiciel ?? tu dois pas tracer f à l'aide d'un tableur ?
- sinon, on a une dérivé qui est exprimé en fonction de f, on ne peut donc pas trouver f (impossible).. mais l'exercice est juste de tracer point par points..
tu comprends ?
je viens de voir que Sine qua non est un logiciel pour tracer des courbes.....
mais tu préfères pas tracer à l'aide d'un tableur ? (Ou ton prof t'as demandé de tracer à l'aide de Sine Qua Non ?)
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pour tracer , soit tu cherches à la main (avec l'aide de la calculatrice il y a une technique pour obtenir tous les couples de points
(0 ; 1) (0.1 ; 1.3) (0.2 ; 1.66) (0.3 ; 2.092) (0.4 ; 2.6104) ..... ensuite PLACER LES POINTS et faire la courbe
Ou alors à l'aide d'un tableur.. tu entres une simple donnée, dans une cellule, et un glissé de cellule, te donne tous les points... ET une courbe .....
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fais ton choix...
Sine Qua Non est un logiciel traceur de courbe / dérivée etc.
Je vais utiliser le tableau de ma calculatrice.
Je commence à bien comprendre, merci.
Donc, je récapitule mes résultats :
f(0) = 1
f(0.1) = 1.3
f(0.2) = 1.66
f(0.3) = 2.092
Je veux mettre ça sous forme de suite, alors je dis que :
On peut ainsi construite deux suites (Xn) et (Yn) telles que Mn(Xn;Yn) appartienne à la Cf et :
{ X0 = 0
{ X(n+1) = Xn + 0.1
ET
{ Y0 = 1
{ Y(n+1) = 1.3 Yn
Je trouve que Y(n+1) = 1.3Yn grâce à ce calcul :
Y(n+1) = f(X(x+1)) = f(Xn + 0.1) = 1.3f(Xn) = 1.3Yn
On a donc Xn = 0.1n et Yn = 1 * 1.3^n ??
Je ne suis pas sûr de ça car à la calculette ça se rapproche des mes résultats sans y être égal.
attention
f(0) = 1
f(0.1) = 1.3
f(0.2) = 1.66
f(0.3) = 2.092
il faut mettre
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Pourquoi faire des suites au juste ?
X0 = 0
Xn+1 = Xn + 0.1 (ici c'est bien, une arithmétique ...)
Y0 = 1
Yn+1 = Yn + 0.1(2Yn + 1) = 1.2Yn + 0.1 (ici arithmético géométrique..) et non pas ce que tu as écris....
à moins que tu aies appris comment exprimer une suite arithmético géométrique en fonction de (n) "car c'est possible"
je pense moi , qu'il faut le faire sur un tableur cet exercice .....
En attendant ta réponse j'ai pu refaire et trouver Yn.
Effectivement je trouve comme toi.
(En cours on a fait un exercice du style mais beaucoup plus simple et on a utiliser les suites).
Je cherche depuis un moment la forme explicite de Yn...
Fantastique !
Mais comment obtiens-tu ce résultat ? Depuis le temps que je cherche !
Tu peux m'expliquer stp ? (Et désolé de te prendre ton temps...)
Ensuite je ne t'embête plus
voici ce qu'on obtient sur excel:
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Comme je te l'ai dis plus haut, il s'agit d'une suite arithmético-géométrique.
tu en as déjà étudié... mais pas de façon générale
Yn+1 = 1.2Yn + 0.1
L'idée: introduire une suite auxiliaire qui sera géométrique.
Soit Vn = Yn - a
pour trouver a, on résout:
a = 1.2a + 0.1 (en faite ici, j'ai remplacé, Yn+1 ET Yn par a.)
-0.2a = 0.1 a = -0.5
Vn = Yn - (-0.5) Vn = Yn + 0.5
On a donc Vn+1 = Yn+1 + 0.5 Vn+1 = 1.2Yn + 0.6 = 1.2(Yn + 0.5) = 1.2Vn
Donc Vn est géométrique de raison 1.2, et de premier terme ( V0 = Y0 + 0.5 = 1.5)
Vn = 1.5(1.2)n
Du coup Vn = Yn + 0.5 1.5(1.2)n = Yn + 0.5
Yn = 1.5(1.2)n - 0.5
voilà, tu sais tout des suite AG
t'as compris ?
Après plusieurs relecture j'ai tout compris.
Sauf le pourquoi de l'apparition de Vn = Yn - a
et pourquoi on peut dire que a = Yn = Y(n+1) alors que ce n'est pas la même chose ?
Bon en tout cas, je vais réfléchir à tout ça.
Merci énormément et bonne soirée.
Sauf le pourquoi de l'apparition de Vn = Yn - a
c'est une suite auxiliaire.. tu verras très très bientôt, qu'on a besoin de ce genre de chose pour se sortir de beaucoup
de situation
(ici , pour avoir Yn en fonction de n)
par exemple dans les démonstrations dans le chapitre fonction exponentielle, tu verras que ton professeur introduira une fonction
auxiliaire ......
(je pourrai te faire des exemples simples, sur les fonctions (que surement t'as déjà rencontré...) ) >> à ta demande...
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et pourquoi on peut dire que a = Yn = Y(n+1) alors que ce n'est pas la même chose ?
comme tu l'as remarqué, le fait d'avoir trouvé a, nous a permis de faire cette transformation:
-------------
Vn+1 = 1.2(Yn + 0.5)
Or, Vn = Yn + 0.5
ainsi, Vn+1 = 1.2Vn
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si on prenait une autre valeur pour a, ça ne marchera jamais...!
DOnc en gros , le (a) c'est ce qui nous permet d'avoir Vn suite géométrique
MAIS ALORS, pourquoi a = Yn = Yn+1 ça je ne sais pas
(j'ai vu un truc qui parle du fait que prendre a = Yn = Yn+1 et donc résoudre ce que j'ai fais, nous amènes à trouver
UN POINT FIXE de la suite Yn mais après je ne saurais pas approfondir plus....)
je pense qu'en ouvrant un nouveau topic, et en posant la question, y aura (certainement) un super ilien qui passera répondre.....
(ça m'intéresserai aussi d'avoir la réponse ^^..)
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Merci énormément et bonne soirée.
de rien... bonne continuation ... ^^ bonne soirée..
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