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Triangle
Est ce qu'on peut m'aider s'il vous plait ?
On considère un triangle ABC tel que BC=4, l'angle B= 
/4 et l'angle C=/3
Démontrer que AB=(8
3)/(2 +6 )et que AC=(82)/(2 +6)
Sachant que sin 5/12= 1/4(2 +6)
Bonjour,
je n'ai pas l'impression que, comme l'énoncé donne un sinus, l'on obtienne des trucs si "cool" que ça avec des produits scalaires qui vont ne faire intervenir que des cosinus !
(la simplification de cos(5pi/12) n'est pas si évidente que ça si on ne la connait pas)
la "formule des sinus" est elle connue ?
si oui c'est instantané et il n'y a alors qu'à exclusivement simplifier la formule obtenue directement pour chacun des côtés manquants.
(on suppose connues les valeurs exactes des sinus de 45 et 60°)
(rappel ?) "formule des sinus" :
dans tout triangle de côtés a, b, c et d'angles opposés A,B,C (a = BC opposé à l'angle A etc)
a/sinA = b/sinB = c/sinC
démonstrations classiques :
- écrire l'aire de ce triangle des 3 façons différentes et les hauteurs en fonction des sinus
- autre démonstration : via le cercle circonscrit
Mathafou, merci de m'avoir répondue mais j'aimerai préciser que nous n'avons pas encore étudié la formule des sinus
Je crois alors qu'il ne m'est pas autorisé de l'utiliser a fin de trouver le résultat !
bein c'est dommage parce que avec les produits scalaires (et donc les cosinus) tu vas obtenir des calculs affreux et rien de "cool" du tout comme le prétend pyth ...
je laisse pyth expliquer parce que moi je ne vois vraiment pas du tout où il veut en venir avec son truc "prétendument cool"...
à part aboutir à des calculs réellement affreux...
il en était là :
qu'on peut bien entendu simplifier en:
(vu qu'on est passé en simple mesures de longueurs)
dans laquelle AB (inconnu, ce qu'on cherche) ne peut se calculer que si on connait AC (tout aussi inconnu et on tourne en rond)
la suite pourrait être
fais de même avec
mouais ...
avec ces deux équations en les inconnues AB et AC, on peut donc résoudre ce système ...
Par substitution on obtient
soit
et finalement
dans laquelle il n'y a plus que (!!!) à substituer les valeurs ... et se lancer dans des simplifications affreuses
(vu la tronche de cos(A) si on l'exprime "de façon brutale" à partir de son sinus)
on peut peut être aussi se lancer dans une simplification purement trigonométrique pour prouver que dans tout triangle
sin(C)sin(A) - cos(A)cos(C) = cos(B)
(avce la formule d'addition des cosinus et A+B+C =
on retombe alors deux lignes plus loin, après tous ces calculs "cool" (sic), sur ce qu'on pouvait obtenir en une seule ligne en tout avec la "loi des sinus" :
on a donc en fait redémontré ce théorème, par une méthode affreuse et les produits scalaires, dans le seul but d'utiliser les produits scalaires (et de manger du calcul à fond)
mais ... si ça se trouve la formule d'addition cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) n'est pas vue non plus
bon courage alors pour simplifier directement ce fatras affreux de racines carrées ...
fais de même avec
mouais ...
Merci de votre condescendance !
Je vous invite à refaire votre calcul, vous trouverez :
on obtient finalement 2 equations à 2 inconues qui se resolvent rapidement.
Mais effectivement la méthode des sinus est plus rapide.
Bonne journée à vous deux
non, non, c'est bien + et pas -
en détaillant tout :
mais je persiste à dire que "qui se résolvent rapidement" ... hum.
certes, ça donne "rapidement" comme j'ai dit
mais c'est ensuite que ça se gâte !!
"deviner" le chemin pour simplifier est bien plus compliqué que "deviner" le théorème des sinus...
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