On dit qu'une fonction f : est convexe si :
x₁,x₂ [0;1]   f(x₁ +(1-)x₂)f(x₁)+(1-)f(x₂).

Maintenant en appliquant cette définition à ta fonction, on a un prpbolème, car ton espace de départ de ta fonction f n'est pas continu : de mémoire les coefficients du triangle de Pascal sont égaux à Cⁿ_p avec n,p.

Mis à part çà, il faut remplacer Cⁿ_p :

Cⁿ_p+1 = n!/((p+1)!(n-p-1)!)=n!/(p!(n-p)!) * (n-p-1)/(p+1) = Cⁿ_p * (n/(p+1) -1)

et pour n constant (n/(p+1) -1) décroissant ... (j'avoue j'ai pas fait le raisonnement jusqu'au bout mais je partirai la dessus (j'ai fait le "sens ligne")

Je rectifie juste une chose :
Cⁿ_p+1 = n!/((p+1)!(n-p-1)!)=n!/(p!(n-p)!) * (n-p)/(p+1) = Cⁿ_p * (n-p)/(p+1)

et (n-p)/(p+1)> 1 p(n-1)/2
Tu as donc la convexité pour p(n-1)/2 par contre au delà, je pense que non.

Ai-je mal compris l'énoncé ?

En fait, j'ai la réponse à la démonstration, mais je ne la comprend pas. Peut -être que vous allez pouvoir m'aider et me rappeler mes vieux souvenir de cours!!

Tout d'abord le triangle de pascal est effectivement donné pour C_n^p, p indice de colonne et n indice de ligne.

Sachant qu'on a l'égalité C_n^p= C_n-1^p+C_n-1^p-1.

On sait que C_n^p+1/C_n^p=(n-p)/(p+1).

1. Lorsque p varie de 0 à n-1, ce rapport diminue de n à 1/n
2. Ce rapport prend la valeur de 1 ssi n-p=p+1
=> si n est impair alors, on pose n=2k+1, C_n^p est maximum pour p=k et p=k+1, ce que je n'ai pas compris
=> Si n est pair alors, on pose n= 2k et C_n^p est maximum pour p=k
3. On sait que C_n+1^p=n!/(p!(n-p)!) * (n+1)/(n+1-p)>C_n^p donc la suite C_n^p (pour p fixé et n variable) est croissante
4. Pour p>1 on a =1/2*(C_n+1^p+C_n-1^p)-C_n^p=(n-1)!/(p!(n-p-1)!) * (p2-p)/(2(n-p)(n+1-p))0 et la suite Cnp pour n variable et p fixe est convexe... Mais là je ne comprend pas d'ou sort le !!:?

Merci de votre aide

Adeline

Pour ton 2°)

Il est très facile de voir que Cⁿ_p = Cⁿ_n-p

D'où si n=2k+1 on a Cⁿ_k = Cⁿ_n-k=k+1
Et ce sont les maximums car avant la fonction est croissante et après elle est décoirssantes

Pour n=2k Cⁿ_k-1 = Cⁿ_n-k=k+1
d'ou Cⁿ_k max