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Triangle equilatéral et complexes
Bonjour à tous, j'ai un petit problème en exercice que je n'arrive pas à résoudre.
"Montrer que les trois points du plan A,B,C d'affixes respectives a,b,c, sont les sommets d'un triangle équilatéral ssi:
a²+b²+c²=ab+bc+ca"
Merci d'avance!
Bonjour, supergries
A,B,C sont les sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 2
/3 ou C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 4/3, donc si et seulement si
c-a=j(b-a) ou c-a=j²(b-a) avec
donc si et seulement si
(c-a)³=(b-a)³ et
Il ne reste plus qu'à montrer que:
Bonjour et merci de cette réponse si rapide et si complète! par contre je n'arrive pas à comprendre pourquoi la rotation est de 2(pi)/3, si elle est centrée en A elle n'est pas de (pi)/3? Par contre j'ai bien compris la démarche à suivre, merci encore!
Bonjour et merci de cette réponse si rapide et si complète! par contre je n'arrive pas à comprendre pourquoi la rotation est de 2(pi)/3, si elle est centrée en A elle n'est pas de (pi)/3? Par contre j'ai bien compris la démarche à suivre, merci encore!
Il aurait mieux valu que j'aille un peu moins vite parce que, comme tu le signales, il y a une erreur. Voici donc une solution rectifiée:
A,B,C sont les sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 2/3 ou C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 4/3, donc si et seulement si
c-a=j(b-a) ou c-a=j²(b-a) avec j=e^{i\pi/3}
donc si et seulement si
(c-a)³=-(b-a)³ et
Il ne reste plus qu'à montrer que:
En espérant que, cette fois-ci, il n'y a pas d'erreur
Merci de votre réponse mais désolé, je ne comprends pas l'histoire de l'angle de 2/3 ou de 4/3. J'ai fait un dessin pour essayer de comprendre, mais pour moi l'angle est de pi/3 pour une rotation de B vers C. Pourriez vous m'expliquer l'histoire de l'angle svp? 
En effet, il faut encore rectifier ...
A,B,C sont les sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle /3 ou C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle -/3, donc si et seulement si
c-a=j(b-a) ou avec
donc si et seulement si
(c-a)³=-(b-a)³ et
Il ne reste plus qu'à montrer que:
Bonjour à tous, j'ai un petit problème en exercice que je n'arrive pas à résoudre.
"Montrer que les trois points du plan A,B,C d'affixes respectives a,b,c, sont les sommets d'un triangle équilatéral ssi:
a²+b²+c²=ab+bc+ca"
Merci d'avance!
il en existe une autre encore plus belle; si je ne me trompe pas....
il suffit que
a+jb+j²c=0 équilatéral dans un sens et a+j²b+jc =0 dans l'autre sens.....
avec j racine cubique non réele de l'unité....
Et pour étudier la réciproque? C'est amusant, j'ai le même soucis et grâce à vous j'ai enfin compris. Mais la réciproque :s Si je comprends, dans le début de la démonstration, on parle d'un triangle équilatérale direct. Pour qu'il soit indirect, il faut ...
il suffit que
a+jb+j²c=0 équilatéral dans un sens et a+j²b+jc =0 dans l'autre sens.....
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