Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Trouver qu'une suite est périodique

Posté par
stefbuet 27-10-09 à 19:09

Salut,

Je suis bloqué sur une petite question qui me semble évidente comme ça, mais que je n'arrive pas à démontrer.

On veux effectuer une division euclidienne.
On pose la suite R_n la suite de rééls qui sont les chiffres du nombre restant de la division:
exemple : 3.5/2 -> reste 1.5 : R_0=1, R_1=5

Soit q=a/b avec a et b N

Je doit démontrer que si R_n=R_m, alors R_{n+1}=R_{m+1}
A vue d'oeil ça me semble logique : lorrsque l'on fait la division euclidienne, le fait de retomber sur un même reste intermédiaire, lorsque le reste ne se termine pas, fait que l'on va tourner en boucle, la suite Rn est périodique au bout d'un certain point.

Maintenant pour le démontrer je vois pas trop.
Il faut surement partir de ça :

10 . R_{n-1} = a_n*b + Rn pour 0Rnb Qui est la définition de la division euclidienne.

Je cherche une piste pour avancer.

Merci.

Posté par
MatheuxMatoure : Trouver qu'une suite est périodique 27-10-09 à 19:21

bonsoir

en math, les mêmes causes produisent les même effets !
si tu divises deux entiers égaux par le même diviseur, tu trouves le même reste (unicité de la division euclidienne)

MM

Posté par
stefbuetre : Trouver qu'une suite est périodique 27-10-09 à 22:17

Oui en faite c'est ce que je doit démontrer, mais je ne sais pas comment l'introduire.
Je peut pas dire pour chaque reste, on multiplie par 10, puis trouve un nouveau reste en enlevant au dernier x*b, et on continue jusqu'au jour ou on tombe sur un reste déjà trouvé auparavant ce qui nous fait tourner en boucle.

Posté par
MatheuxMatoure : Trouver qu'une suite est périodique 27-10-09 à 22:49

je ne comprends rien à ton problème !

tout cela est évident !

si tu divises un même nombre par b, tu trouves le même quotient et le même reste !

Posté par
stefbuetre : Trouver qu'une suite est périodique 27-10-09 à 23:36

Désolé c'est moi qui est mal posé mon problème en essayant de le simplifier

Soit un rationnel q=a/b ou a et b sont deux entiers premiers entre eux.
On définit a_0 le quotient et b_0 le reste de la division euclidienne de a par b : a=a_0*b+r_0, pour pour tout n1, a_0 et r_0 sont le quotient et reste de 10*r_{n-1} par b : 10*r_{n-1} = a_n*b + r_n

-->Je doit montrer que si r_n=r_m pour deux rangs differents, alors r_{n+1}=r_{m+1} puis en déduire que la suite (a_n) est périodique.

----

Pour commencer j'ai dis que :
10*r_{n}=a_{n+1}*b+r_{n+1} \\ 10*r_{m}=a{m+1}*b+r_{m+1} \\ donc a_{n+1}*b+r_{n+1}=a{m+1}*b+r_{m+1} \\ et b(a_{n+1}-a_{m+1})=r_{m+1}-r_{n+1}

Mais je vois pas trop ou aller...

Posté par
stefbuetre : Trouver qu'une suite est périodique 27-10-09 à 23:38

On ne peut pas éditer les messages !
Dans le msg précèdent il y a des * qui sont des signes multiplier * en faite...
Désolé.

Posté par
MatheuxMatoure : Trouver qu'une suite est périodique 28-10-09 à 09:58

il faudrait peut-être songer à utiliser les théorèmes mathématiques !

Théorème :
étant donnés deux entiers M et N, il existe un UNIQUE couple (Q,R) d'entiers vérifiant
M=N*Q+R avec 0R<N

donc dans ton cas, si rm=rn
on a
am+1=an+1 et rm+1=rn+1

et pis c'est tout !

MM


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !