si quelqu un aurait une idee merci de men faire part
jai essayé en vain avec la formule de taylor young

Bonjour,

Fais des intégrations par parties répétées, si tu choisis bien tes termes, à chaque étape la puissance de (x-t)^k1 descend de 1, et le rang de la dérivée u^(k2) descend aussi de 1.

tout d'abbord merci pour votre reponse je pense avoir reussi
cependait jai une autre question :

soit f appartient a E lensemble des fonctions continues, définies sur [0,1] à valeurs dans R
soit T lendomorphisme de E
pour tout x a [0,1] et f dans E T(f)=f(t)dt de o à x

On me demande de determiner Ker(T) et Im(T)

**pour déterminer Ker(T)
soit f E telle que f(t)dt=0 de 0 x pour tout x [0,1]
comment puis je montrer que f est lapplication nulle ?

**D'autre part je dois determiner Im(T) qui je pense est égal a E
-je dois donc démontrer les deux inclusions etant deja traitée dans la question précedante pour démontrer que T est un endomorphisme
-je dois alors démontrer Im(T)E
Soit F E alors F est une fonction continue définie sur [0,1] à valeurs dans R, montrons qu'il existe f E telle que F=f(t)dt de 0 à x pour tout x [0,1]
pour celui puis je simplement dire que F est la primitive de f qui s'annule en 0 et satisfaire linclusion ?

Bonjour,

En principe, la règle de l'île est : une question, un topic...
Mais bon, ça va pour cette fois-ci

Pour Ker(T), suppose qu'il existe f différente de l'application nulle telle que, pour tout x[0,1], tu aies ₀^xf(t)dt = 0.
Si f est non nulle, il existe a appartenant à [0,1] tel que f(a) 0. Pour fixer les idées, on va suposer f(a) > 0.
Si a appartient à ]0,1[, de par la continuité de f, il existe a1 et a2 encadrant a et appartenant aussi à ]0,1[ tels que f(t) soit > 0 sur [a1,a2]
Tu a alors _a1^a2f(t)dt > 0
mais en même temps, de par ton hypothèse, tu as ₀^a1f(t)dt = 0, et ₀^a2f(t)dt = 0
En faisant la différence des deux intégrales tu obtiens _a1^a2f(t)dt = 0
Je te laisse adapter l'argument aux cas où a = 0, et a = 1.
D'où une contradiction, donc f est identiquement nulle.

je poste déjà ça, et je regarde après pour Im(T).

Pour Im(T), la réponse n'est certainement pas E. En effet, E est l'ensemble des fonctions continues sur [0,1]. Les fonctions de Im(T) ont toutes une propriété supplémentaire : elles sont dérivables, et à dérivée continue. Si les deux ensembles étaient identiques, alors toute fonction continue serait dérivable et à dérivée continue, et par récurrence, toute fonction continue serait inféfiniment dérivable .
Je pense que tout ce qu'on peut dire de Im(T), c'est que ses fonctions sont dérivables, à dérivée continue, donc un sous-ensemble de C¹[0,1], et telles que f(0) = 0 (c'est dû à la définition par une intégrale de 0 à x).