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Un encadrement de e^x et de e et une suite qui converge vers e
Bonjour bonjour!
Je fais encore une fois appel à vous pour m'aider dans mon DM.
Voilà donc mon exercice :
1-Un encadrement de e^x
a) est la fonction définie sur R par :
(x) = e^x-(1+x). Etudier les variations de cette fonction.
b)En déduie que pour tout réel x, on a 1+x plus petit ou égal à e^x [1]
-Donc la je veux bien étudier les variations, mais je vois pas en quoi je dois déduire ceci.
c) A partir de l'inégalité [1], démontrer que pour tout réel x<1, e^x plus petit ou égal à 1/(1-x) [2]
On pourra poser t=-x pour tout réel x<1
2-Un encadrement du nombre e
a) Déduire de [1] que (1+1/n)^n plus petit ou égale à e (poser x=1/n)
b) Déduire de [2] que e plus petit ou égale à (1+1/n)^(n+1) (poser x=1/(n+1)
c) Déduire des 2 questions précédentes que 2<e<4
-Ca j'ai réussi à le faire. Je pense que cest bon mais, pourquoi est ce qu'on a le droit de poser x de cette manière?
3-Une suite qui converge vers e
U est la suite définie par =(1+1/n)^n pour tout entier n plus grand 1.
a) En utilisant les résultats du 2, démontrer que pour tout entier n1.,
b)En déduire que u converge vers e.
c)Avec la calculatrice donner une valeur approchée de
-Là j'avoue que dés le a) je suis perdue.
Un petit peu d'aide serait bienvenue, Merci d'avance.
RegardeMoiBien
1)
a)
Phi(x) = e^x-(1+x)
Phi'(x) = e^x - 1
Phi'(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ --> Phi(x) est décroissante.
Phi'(x) = 0 pour x = 0
Phi'(x) > 0 pour x dans ]0 ; +oo[ --> Phi(x) est croissante.
Phi(x) est minimum pour x = 0, ce min vaut Phi(0) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0
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b)
De l'étude du point 1a -->
Phi(x) >= 0 sur R
e^x-(1+x) >= 0 sur R
x+1 <= e^x pour tout réel x
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c)
poser t=-x pour tout réel x < 1 --> -x > -1 --> t > -1 --> -t+1 < 2
t+1 <= e^t pour tout réel t
poser t = -x -->
-x+1 <= e^-x pour tout réel x
Si x < 1 --> 1-x > 0
les 2 membres de -x+1 <= e^-x sont alors positifs.
On a alors: 1/(-x+1) >= 1/e^-x
1/(1-x) >= e^x
e^x <= 1/(1-x) pour tout réel x<1
-----
2)
a)
x+1 <= e^x pour tout réel x
Poser x = 1/n (on peut puisque l'expression ci dessus est vraie pour tout x) -->
1/n +1 <= e^(1/n)
(1 + 1/n)^n <= (e^(1/n))^n
(1 + 1/n)^n <= e
---
e^x <= 1/(1-x) pour tout réel x<1
Poser x = 1/(n+1) (Et donc on a bien x < 1)
e^(1/(n+1)) <= 1/(1 - 1/(n+1))
e^(1/(n+1)) <= (n+1)/n
e^(1/(n+1)) <= (1 + 1/n)
e <= (1 + 1/n)^(n+1)
---
c)
(1 + 1/n)^n <= e <= (1 + 1/n)^(n+1)
et pour n = 1 -->
2 <= e <= 2²
2 <= e <= 4
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3)
a)
U(n) = (1 + 1/n)^n avec n > 1 dans N
(1 + 1/n)^n <= e
U(n) <= e
0 <= e - U(n)
e <= (1 + 1/n)^(n+1)
e <= (1 + 1/n)^n * (1 + 1/n)
e <= U(n) * (1 + 1/n)
e <= U(n) + (1/n).U(n)
e - U(n) <= (1/n).U(n)
0 <= e - U(n) <= (1/n).U(n) (1)
0 <= e - U(n)
U(n) <= e
et (1 + 1/n)^n > 0
--> 0 < U(n) <= e < 4
U(n) < 4
(1) --> 0 <= e - U(n) <= 4/n
---
b)
0 <= e - U(n) <= 4/n
0 <= lim(n-> +oo) [e - U(n)] <= im(n-> +oo) [4/n]
0 <= lim(n-> +oo) [e - U(n)] <= 0
Et donc la suite Un converge vers e.
---
c)
U(100) = (1 + 1/100)^100 = 2,70481382942
U(1000) = (1 + 1/1000)^1000 = 2,71692393224
U(10000) = (1 + 1/10000)^10000 = 2,71814592683
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Sauf distraction. 
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