Salut,

on a clairement que :
1/(n+1) ln[(n+1)/n] 1/n

d'ou :
1/((n+k)+1) ln[((n+k)+1)/(n+k)] 1/(n+k) avec k compris entre 1 et n-1.

soit,
pour k=1 :
1/((n+1)+1) ln[((n+1)+1)/(n+1)] 1/(n+1)
<=>
1/(n+2) ln[(n+2)/(n+1)] 1/(n+1)

de la même manière,
pour k=2 :
1/((n+2)+1) ln[((n+2)+1)/(n+2)] 1/(n+2)
<=>
1/(n+3) ln[(n+3)/(n+2)] 1/(n+2)

etc ...

On a donc succesivement :
1/(n+1) ln[(n+1)/n] 1/n
1/(n+2) ln[(n+2)/(n+1)] 1/(n+1)
1/(n+3) ln[(n+3)/(n+2)] 1/(n+2)

etc...

On somme membre à membre :
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) ln[(n+1)/n] + ln[(n+2)/(n+1)] + ... + ln[(2n)/(2n-1)] 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(2n-1)
Soit :
U_n ln[(n+1)/n] + ln[(n+2)/(n+1)] + ... + ln[(2n)/(2n-1)] 1/n + U_n - 1/(2n)

Ou encore :
U_n ln[(n+1)/n] + ln[(n+2)/(n+1)] + ... + ln[(2n)/(2n-1)] 1/(2n) + U_n

Reste à étudier ln[(n+1)/n] + ln[(n+2)/(n+1)] + ... + ln[(2n)/(2n-1)] par rapport à ln(2).

De part les propriétés de la fonction ln, on a :
ln[(n+1)/n] + ln[(n+2)/(n+1)] + ... + ln[(2n)/(2n-1)] = ln( [(n+1)/n] [(n+2)/(n+1)] ... [(2n)/(2n-1)] )

On remarque alors que beaucoup de terme se simplifie et il ne reste finalement que :
ln[(n+1)/n] + ln[(n+2)/(n+1)] + ... + ln[(2n)/(2n-1)] = ln([(2n)/n]) = ln(2).

D'ou le résultat voulu.
Le plus intéressant c'est encore de montrer qu'effectivement 1/(p+1) ln[(p+1)/p] 1/p.

K.

Merci H_aldnoer, j'ai juste un peu de mal à comprendre certaines choses :

comment passe-t-on de 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(2n-1) à 1/n + Un - 1/(2n) ?

et de quelle façon les termes de la fonction ln se simplifient-ils pour ne donner finalement que ln2 ?

Finalement, je ne comprends pas ta dernière remarque "Le plus intéressant c'est encore de montrer qu'effectivement 1/(p+1)  ln[(p+1)/p]  1/p.", puisque c'est de cette inégalité dont dépend la démonstration...
Pour le reste j'ai tout suivi ! Merci beaucoup !

Et bien :
1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(2n-1) = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(2n-1) + 1/(2n) - 1/(2n) = 1/n + U_n - 1/(2n).

Les termes s'annulent si tu regarde numérateur et dénominateur d'une fraction à l'autre.

On vous donne 1/(p+1) 1/p sans vous demander de démontrer qu'effectivement c'est le cas (mais laisse tombé, spa grave !!)

K.

En fait pour la simplification j'ai compris, petite erreur de calcul...

Ok c'est cool

En fait, il nous a déjà été demandé de démontrer cette inégalité un peu avant dans l'exercice ! ^^

Sinon, je dois maintenant en déduire que la suite (Un) converge vers ln2

Je pensais faire comme cela :

Un ln2 Un + 1/(2n)

Donc Un - ln Un + 1/(2n)

Or d'après un des théorèmes de comparaison sur les limites des suites, on sait que si |Un - ln2| Un + 1/2n et si quand n +, lim (Un + 1/2n) = 0 alors pour n+, lim Un = ln2

Seulement je ne vois pas comment on peut ajouter la valeur absolue, condition sine qua non de ce théorème ...

ln(2) Un + 1/(2n)
<=>
ln(2)-1/(2n) Un

?

oui mais il faut aussi que ln2 - (Un + 1/2n) Un ... non ?

fatiguée moi ce soir... oubliez le dernier message...

dernière petite question, après finis les maths pour ces vacances...
Quel encadrement de ln2 obtient-on avec n = 10 ?

beh tu remplace n par 10 quel question !