effectivement c'est chaux, mais voila la soluce:

les points ont pour coordonnées:
A(a,1/a)
B(b,1/b)
C(c,1/c)


H est l'orthocentre de ABC ce traduit par trois relations:

AH perpendiculaire à BC
BH perpendiculaire à AC
CH perpendiculaire à AB

Nos inconnues sont les coordonnées (xh, yh) de H
comme on en a que deux les deux premiéres relations suffisent:

en vecteur ca donne les produites scalaires :
AH.BC=0
BH.AC=0

on AH=(xh-a,yh-1/a)
BC=(c-b,1/c-1/b)
BH=(xh-b,yh-1/b)
AC=(c-a,1/c-1/a)

donc en calculant les produits scalaires:
(xh-a)*(c-b)+(yh-1/a)*(1/c-1/b)=0
et (xh-b)*(c-a)+(yh-1/b)*(1/c-1/a)=0

c'est le systeme a resoubre
en developpant tout et en simplifiant la première par (c-b)
et la deuxieme par (c-a)
tu est ramenéà
bc*xh -abc+yh-1/a=0
et ac*xh-abc+yh-1/b=0

en soustrayant les deux:
xh*(ac-bc)-1/b+1/a=0
soit xh*c*(a-b)-1/ab (a-b)=0
soit xh*c-1/ab=0
soit xh=1/abc              !!!!!! A retenir

on remplace cette valeur dans l'autre equation pour trouver yh:
ac*1/abc -abc+yh-1/b=0
soit 1/b-1/b-abc+yh=0

soit yh=abc    !!!!! c'est fou!!!!

tu as bien  yh=1/xh  ce qui te prouve que H est sur l'hyperbole
y=1/x

c'etait chaud, mais c'est un bel exercice
A+
guillaume