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Un problème sur le calcul d'une aire
Bonjour à tous, le problème qui va suivre me pose vraiment un souci. Si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste pour trouver le résultat demandé, je le remerci d'avance.
Voilà le problème :
Une fenêtre est formée d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle. Le périmètre de la fenêtre est égal à 5 mètres.
Déterminer les dimensions de la fenêtre afin que l'ouverture est une aire maximale; quelle sera alors cette aire maximale.
Merci d'avance
Bonjour,
J'ai appelé 2r la largeur de la fenêtre et h la hauteur de la partie rectangulaire.
Le périmètre vaut 5 mètres. Comment s'exprime-t-il en fonction de r et de h
Comment s'exprime l'aire totale de la fenêtre ?
Comment s'exprime-t-il en fonction de r et de h
Mon problème est là, le demi-cercle me dérange et je ne vois pas comment calculer le périmètre malgré tes information. Peux-tu m'éclairer un peu plus ?
Merci
Périmètre d'un cercle de rayon r : 2.
.r
Périmète d'un rectangle de largeur l et de longueur L : 2(l + L)
A adapter bien sûr...
Et h, c'est la hauteur du rectangle ou la hauteur du rectangle + cercle( h+r) ?
h, dans ma notation pour résoudre ton problème, c'est seulement la hauteur de la partie rectangulaire ; ce n'est pas la hauteur totale qui est bien (h + r)
Pour le périmètre du demi-cercle c'est égal à *r
et le périmètre du rectangle c'est égal à 2*r*h
Me suis-je trompé ?
Après j'additionne ces 2 périmètres et je met cette addition égale à 5. C'est bien cela ?
Par contre il y aura 2 inconnu qui sont h et r. C'est à partir de là que je bloque un peu. Si tu pouvais poursuivre ton aide, se ne serait sympa.
Merci
D'accord pour le périmètre (utile) du demi-cercle : .r
mais pas d'accord pour le périmètre (utile) du rectangle : c'est 2.h + 2.r ou si tu veux 2(h + r)
Donc le périmètre total est
.r + 2.h + 2.r = 5
Que vaut l'aire de cette fenêtre ?
Ok pr le périmètre total j'ai compris.
Par contre l'aire de la fenètre on nela connais pas.On nous demande de la calculer. Et c'est là ou je bloque.
Tu dois l'exprimer littéralement, en fonction de h et r
Aire d'un cercle de rayon r : .r2
Aire d'un rectangle de largeur l et de longueur L : L.l
A adapter...
J'ai trouvé que l'aire total est .r2+ h.2r
Est-ce bon ?
Comment peut-on conclure après ? Il faudrait faire un système avec le périmètre et l'aire pour trouver les inconnu maislepb est qu'on ne sait pas à quoi est égal le résultat de l'aire total.Comment fait-on après ?
C'est un demi-cercle...
Donc l'aire est (1/2)..r2 + r.2h
Et si, dans cette expression de l'aire, tu remplaçais maintenant 2h par sa valeur tirée de la première égalité, .r + 2.h + 2.r = 5
Il restera une expression de l'aire qui ne dépend plus que de r
et en trouver le maximum devrait devenir possible...
J'ai compris le raisonnement mais le problème est que nous n'avons pas la même figure du coup certaines choses diffèrent.
Par exemple, le rayon du cercle est égal à la moitié de la largeur donc si on appelle r ce rayon, la largeur du rectangle est égal à 2r.
Par conséquent, le périmètre du rectangle est égal à 2.(h+r) et le périmètre total est égal à 2h+4r+ (.r)=5 .
Et l'aire total est égal du coup à (2r.h)+(.r2
Pour continuer, le mieux serait de remplacer r ou h par son expression avec la première expression ?
J'ai compris le raisonnement mais le problème est que nous n'avons pas la même figure du coup certaines choses diffèrent.
Par exemple, le rayon du cercle est égal à la moitié de la largeur donc si on appelle r ce rayon, la largeur du rectangle est égal à 2r.
Par conséquent, le périmètre du rectangle est égal à 2.(h+r) et le périmètre total est égal à 2h+4r+ (.r)=5 .
Et l'aire total est égal du coup à (2r.h)+(.r2
Pour continuer, le mieux serait de remplacer r ou h par son expression avec la première expression ?
j'ai remarqué que j'ai fait une erreur en écrivant le périmètre du coup je le corrige.
Le bon message est
J'ai compris le raisonnement mais le problème est que nous n'avons pas la même figure du coup certaines choses diffèrent.
Par exemple, le rayon du cercle est égal à la moitié de la largeur donc si on appelle r ce rayon, la largeur du rectangle est égal à 2r.
Par conséquent, le périmètre du rectangle est égal à 2.(h+2r) et le périmètre total est égal à 2h+4r+ (
.r)=5 .
Et l'aire total est égal du coup à (2r.h)+(
.r2)
Pour continuer, le mieux serait de remplacer r ou h par son expression avec la première expression ?
Dans mon premier post j'ai écrit :
J'ai appelé 2r la largeur de la fenêtre et h la hauteur de la partie rectangulaire.
Nous devrions donc avoir la même figure.
Tes deux expressions sont fausses.
Pour le périmètre : il ne faut pas compter deux fois la largeur du rectangle.
Le périmètre c'est :
une hauteur h du rectangle + une largeur 2r de la fenêtre + l'autre hauteur h du rectangle + une demi-circonférence d'un cercle de rayon r
Pour l'aire
Oui pour l'aire du rectangle, mais non pour l'aire d'un demi-cercle de rayon r
Comme je te l'ai écrit (20 h 54) il faut en effet remplacer 2h dans l'expression de l'aire par sa valeur tirée de la relation pour le périmètre.
J'ai remplacé 2h par sa valeur tirée de la relation du périmètre et après résolution de l'équation, je trouve que r= 10/(+20) après j'ai remplacé r dans la relation 2h=5-2r-(.r) et je trouve que 2h est égal à (-5+80)/(+20).
r et 2h sont-ils bon ?
Comment conclure après ? J'ai pensé à remplacer r et h dans la relation de r par les valeurs trouvées et je trouve que l'aire est égale à 800/(+20)². Après ce résultat, je ne sais pas trop comment conclure.
Si j'ai fait une erreur de calcul, merci de détailler le calcul pour que je trouve mon erreur.
Je ne trouve pas cette valeur de r
Peux-tu écrire :
l'équation avec le périmètre (celle que tu as écrite à 13 h 57 était fausse)
l'équation avec l'aire (celle que tu as écrite à 13 h 57 était également fausse)
1) L'équation avec le périmètre : 2h+2r+(.r)=5
2) L'équation de l'aire : 1/2.r²+r.2h
avec la 1), 2h=5-2r-(.r)
Que j'ai transposé dans la 2) et ça donne à la fin
-1/2.r²+ 5r-10r² = r²(-1/2-10)+5r
r²(-1/2
-10)+5rMerci
Cette fois-ci les équations du périmètre et de l'aire sont correctes !
Donc l'aire vaut :
A(r) = (1/2)..r2 + r.(5 - 2r - .r)
Ce n'est pas une équation dont tu cherches les racines !
C'est une fonction de r dont tu cherches le maximum.
Comment fais-tu pour chercher le maximum d'une fonction ?
Je pensais étudier le signe de la fonction et voir si il y a changement de signe. A ce moment là à ce changement de signe, soit se sera le maximum soit le minimum. Mais bon après je ne vois pas trop comment étudier le signe de la fonction donc problème
Prends la dérivée de A(r) par rapport à r et écris que pour le maximum cette fonction dérivée s'annule.
Je trouve que la dérivée de A(R) est égale à .r+5--6r Est-ce correct ?
Après que résout cela = 0 c'est cela ?
Après correction je trouve que A'(R)= -r(+4)+5
pour r=5/(+4), la dérivée s'annule donc pour r est le maximum de la fonction c'est bien cela ?
Comment peut-on conclure en ayant r ?
Oui, c'est bien cela !
On peut calculer r = 0,7 m
on peut calculer h = (1/2)(5 - 2r - r) = 0,7 m également (tiens ! 
)
on peut calculer l'aire A : que vaut l'aire (avec l'unité bien sûr) ?
Je trouve sauf erreur de ma part que A= 1.11m
L'aire est-elle bonne.
Si j'ai bien compris, l'aire trouvée, c'est l'aire maximale de la fenêtre ?
Avec ces informations, l'exercice est fini ?
1) la valeur numérique est fausse
2) le mètre est une unité de longueur ; une surface s'exprime par exemple en m2
3) avec la bonne valeur de A, oui l'exercice sera fini
Erreur de calcul désolé. Je trouve que A= 1.75 m². Le résultat est bon ?
Je te remercie beaucoup pour tes explications et ton aide. Ils ont le mérite d'être clair.
Encore merci 
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