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Une équation différentielle avec une fonction étrange...
Bonjour, j'ai une drôle d'équation différentielle à traiter, regardez par vous même.
On se donne *+
une fonction dérivable sur
*+ telle que
*+ ;
1/ Montrer que f est deux fois dérivable sur *+
2/ Déterminer une équation différentielle linéaire d'ordre 2 dont f est solution
3/ On définit par
Montrer que g est deux fois dérivable et déterminer une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants dont g est solution, et en déduire la forme de f.
Pour la question 1/, à partir de , je parviens à extraire une écriture de f'(x), qui est valable pour tout réels positifs > 0.
Mais pour trouver une écriture de f''(x), je patauge.
Peut être faut il raisonner par récurrence, en supposant que f soit deux fois dérivables, mais ca me semble bien louche.
Voilà, si j'ai du nouveau je vous fais signe, mais si vous pouviez m'éclairer sur les autres questions; que je ne saisi pas clairement; ce serait vraiment bien.
Merci d'avance à tous ceux qui liront ce pavé 
petit point de vocabulaire : On ne parle pas d'equation différentielle dans ce genre de situation, mais d'equation fonctionelle. (equation différentielle c'est réservé au equation "local" c'est à dire qui ne font intervenir que les valeur de f et de ses dérivé en un seul point à la fois...)
tu peut ecrire f'(x) = .... qqch qui dépend uniquement de x et f et qui sera dérivable, donc f est bien deux fois dérivable, ce qui nous autorise à dérivé l'equation fonctionelle :
-f'(1/x)/x^2=2x(2f'(x)+1)+2*x^2.f''(x)
mais d'autre part on a (en ecrivant l'equation en 1/x ) : f(x)x^2-1=2f'(1/x)
tu n'as donc plus qu'à réinjecter cela dans l'equation précedente pour faire disparaitre le f'(1/x) et ne plus avoir qu'une equation différentielle ordinaire.
Merci à vous deux, vos réponses m'ont aidé, et je voulais savoir si vous (ou quelqu'un d'autre vous pouviez m'aider pour la suite, je pense avoir ceci.
On sait que l'exponentielle est infiniment dérivable sur IR donc en particulier sur l'ensemble des réels positifs strictement plus grand que 0, de même que f( on vient de le prouver), donc la fonction g est la composée de 2 fonctions 2 fois dérivables sur l'intervalle donne, la fonction g est donc 2 fois dérivables sur l'intervalle donné.
La suite, je bloque :/
Merci de votre aide !
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