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Une inégalité incomprise

Posté par
H_aldnoer 17-10-08 à 21:07

Bonsoir,


dans un exercice d'intégration, on avait une fonction mesurable \Large X de \Large \Omega dans \Large [0,+\infty]. Pour \Large N un entier strictement positif, on a :


\Large [X(x)]^{\pm N} \le \frac{N!}{\epsilon^N}exp(\pm\epsilon X(w)).


Je n'arrive pas à le montrer.
Help!

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 17-10-08 à 21:13

J'ai oublié la condition imposée sur la fonction \Large X :


il existe \Large \epsilon>0 tel que \Large \Bigint_{\Omega}exp(\epsilon (X(w)+\frac{1}{X(w)}))d\mu(w) < +\infty.


(je profite pour corriger mon premier post : c'est un \Large w a la place de \Large x)

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 17-10-08 à 21:30

Condition qui en fait ne doit pas vraiment servir...


Mais je n'y arrive pas quand même!

J'ai \Large [X(w)]^{\pm N}=exp(\pm N ln(X(w))). Comme \Large X(w)\in [0,+\infty], on a \Large ln(X(w))\le X(w).


Donc \Large [X(w)]^{\pm N}\le exp(\pm N X(w)). Je ne comprends pas la factorielle!

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 18-10-08 à 18:29

Posté par
lolo217re : Une inégalité incomprise 18-10-08 à 20:30

En fait  X(w)  ne sert à rien : il suffit de prouver que pour tout réel positif x  tu as  x^n/n! =< exp( ex)/en  

le  "e" est epsilon disons avec le signe +  pour commencer alors suffit de regarder la définition de dl'exponenetielle avec la série  

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 18-10-08 à 22:36

Bonsoir lolo,


j'ai obtenu ce qu'il fallait avec le \Large + :
\Large exp(\epsilon X(w))=\Bigsum_{N=0}^{+\infty}\frac{\epsilon^N X(w)^N}{N!}\ge \frac{\epsilon^N X(w)^N}{N!} donc \Large X(w)^N\le \frac{N!}{\epsilon^N}exp(\epsilon X(w)).

Avec l'autre signe, je ne vois toujours pas !

\Large exp(-\epsilon X(w))=\Bigsum_{N=0}^{+\infty}\frac{(-\epsilon)^N X(w)^N}{N!}\ge \frac{(-\epsilon)^N X(w)^N}{N!} et j'arrive a \Large X(w)^N\le \frac{N!}{(-\epsilon)^N}exp(-\epsilon X(w)), sans plus de succès.

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 00:08

Posté par
lolo217re : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 13:40

Bonjour,
Je n'avais pas vu ta réponse . Donc OK pour le signe +.
Pour le signe - je ne suis pas d'accord avec ta minoration ça dépend de la parité de N ...mais de toute façon ça ne semble pas permettre de conclure.

Tu veux   N!Exp(-e X) >=  X-NeN  ce qui équivaut à

N! XN >= Exp(eX) eN  ce qui est clairement faux pour  X assez grand !

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 13:52

Salut lolo
Voila qui m'arrange pas !


Vois-tu comment minorer \Large X(w)^{-N} avec une expression du même type ?

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 13:54

Je vais sans doute dire une bêtise, mais est-ce que \Large X(w)^{-N} \le X(w)^{N} ?

Posté par
lolo217re : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 14:24

ben seulement si X est plus grand que 1 .

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 14:43

Oui, c'est vrai. Tu ne vois pas une majoration sinon ?

Posté par
lolo217re : Une inégalité incomprise 25-10-08 à 17:29

Non, mais tu dois vraiment majorer séparemment  XN  et X-N ? parce que ta condition sur l'intégrale porte sur la somme
X+1/X .

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 26-10-08 à 00:13

L'idéal serait de majorer \Large X(w)^{\pm N}, mais je ne vois pas comment!

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 26-10-08 à 16:49

Pour être plus précis, je majore \Large |X(w)^z|.
Je me place dans une bande \Large \bar{B}_N := \{ z\in \mathbb{C}\,,Re(z)\in [-N,N] \}.
Je montre alors que \Large{ |X(w)|^z\le sup( X(w)^N , X(w)^{-N} ).


Je souhaite montrer l'intégrabilité de chacune des fonctions \Large{ w\to X(w)^N} et \Large{ w\to X(w)^{-N}}.


Pour la première, c'est ok : \Large [X(x)]^{N} \le \frac{N!}{\epsilon^N}exp(\epsilon X(w)) et \Large\frac{N!}{\epsilon^N}exp(\epsilon X(w))\le \frac{N!}{\epsilon^N}exp(\epsilon (X(w)+\frac{1}{X(w)})).

Donc \Large [X(x)]^{N} \le \frac{N!}{\epsilon^N}exp(\epsilon (X(w)+\frac{1}{X(w)})).


Je bloque sur la seconde!

Posté par
lolo217re : Une inégalité incomprise 26-10-08 à 19:27

exp(e /X) >=  en/XN/N!  par le même raisonnement non ?

Posté par
carpediemune inégalité incomprise 26-10-08 à 19:47

salut

juste comme ça: X-N=(1/X)N

puis tu recmmences à (1/X) ce que tu as fait pour X...

Posté par
H_aldnoerre : Une inégalité incomprise 26-10-08 à 20:00

\Large exp(\frac{\epsilon}{X(w)})=\Bigsum_{N=0}^{+\infty}\frac{\epsilon^N}{N!X(w)^N}\ge \frac{\epsilon^N }{N!X(w)^N}=\frac{\epsilon^N }{N!}X(w)^{-N}

ie \Large X(w)^{-N} \le \frac{N! }{\epsilon^N}exp(\frac{\epsilon}{X(w)}) et comme \Large \frac{N! }{\epsilon^N}exp(\frac{\epsilon}{X(w)}) \le \frac{N!}{\epsilon^N}exp(\epsilon (X(w)+\frac{1}{X(w)}) c'est tout bon.


Merci lolo !

Posté par
lolo217re : Une inégalité incomprise 26-10-08 à 20:20

de rien


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