Tu procèdes par récurrence forte et peut-être peux tu ) ( pour démontrer P(n+1)faire la division euclidienne de p(<(n+2)!) par (n+1)!

La suite f n n! me semble être strictement croissante , non ?



Soit u : * * strictement croissante telle que u(1) = 1

1.Pour tout entier n > 0 on a u(n) n .(C'est vrai pour 1 et si ça l'est pour n alors u(n+1) 1 + u(n) 1 + n donc ça l'est encore pour n + 1)
2.Soit p *.

Posons A(p) = {n * / u(n) p}

     .Comme 1 = u(1) p on a 1 A(p) qui est donc non vide .

     .A(p) est majoré : Supposons le contraire et soit k *. k ne majore pas A(p) donc minore au moins l'un de ses éléments, disons n . On a alors u(k) u(n) (car u est croissante) p (car n A(p)) . On a donc u(*) {1,....,p} . Comme u est injective * est fini . C'est manifestement contradictoire.
A(p) admet donc un plus grand élément N qui vérifie u(N) p et aussi p < u(N+1) car N + 1 A(p) .

On peut exprimer ce résultat en disant que les ensembles K_n = {k / u(n) k < u(n+1) } forment une partition de *

Pour la suite tu fais une récurrence:

La propriété est vraie pour 1 c'est clar

Supposons qu'elle le soit pour un certain entier n.

Soit p un entier < (n+2)! .
   Si p < (n+1)! il existe donc des entiers t₁,...,t_n tels que ₁ⁿt_k.k! = p . On posera t_n+1 = 0.
Supposons donc (n+1)! p . La division de p par (n+1)! fournit des entiers q et r vérifiant p = q.(n+1)! + r et 0 r < (n+1)!
Il existe donc t₁,...,t_n tels que ₁ⁿt_k.k! = r et si on pose t_n+1 = q on a  ₁ⁿ⁺¹t_k.k! = p