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Une question facile ?...
Bonjour, je suis en train de faire un exercice particulier, l'énoncé est le suivant :
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1. On désigne par V une fonction réelle de 2 variables réelles positives, x et y étant de la forme
V(x,y)= 
(x) + 
(y) où et sont dérivables sur ]0 ; +
[.
a) Expliciter la relation (E) :
x(1-y)
V/x = y(1-x)V/y à l'aide des dérivées de et .
b) Déterminer deux fonctions et telles que V soit solution de (E)
2. On considère le système des 2 équations différentielles
(S) : dx/dt = x - xy et dy/dt = -y + xy (x et y étant deux fonctions inconnues de la variable t des deux dérivées).
a) Montrer que, pour tout réel T, si x et y vérifient (S) alors les fonctions
t
x(t+T) et ty(t+T) vérifient aussi (S)
b) Montrer que si V satisfait à (E), et si x et y vérifient (S) sur IR alors la fonction
tV(x(t),y(t)) est constante.
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Mes réponses :
1. a) Immédiat : (E) devient x(1-y)' (x) = y(1-x)' (y)
b) Il faut trouver un cas où ça marche ? Dans ce cas je ne l'ai pas trouvé....
2. a) En dérivant ces deux fonctions on se débarasse de T mais comment faire pour le reste ?
b) Je ne sais pas trop comment procéder
Merci à ceux et celles qui pourront m'éclairer 
pour la 2)a
tu dois prouver que x'(t+T)= x(t+T)-x(t+T) y(t+T) pour que t--->x(t+T) vérifie aussi (S)
or [x(t+T)]' = x(t+T)-x(t+T) y(t+T) car x vérifie S
mais [x(t+T)]'=(t+T)' x'(t+T) (dérivée d'une fonction composée)
et (t+T)' = 1 donc tu as ta réponse
idem pour y
je rectifie une ligne
pour la 2)a
tu dois prouver que [x(t+T)]'= x(t+T)-x(t+T) y(t+T) pour que t--->x(t+T) vérifie aussi (S)
on a [x(t+T)]'=(t+T)' x'(t+T) (dérivée d'une fonction composée)
et (t+T)' = 1 donc
or [x(t+T)]'= x'(t+T) = x(t+T)-x(t+T) y(t+T) car x vérifie S
idem pour y
puisque c un exemple, donne à x et y deux valeurs de ton choix sauf 0, c trop trivial et cherche deux fonctions et qui vérifient l'égalité obtenue. faudrait peut etre intégrer .. tu ne crois pas ??
vérifie un peu avec
(x)= y ln(x) - yx
et (y)= y - y2/2
tu calcules donc ()'(x)
et ('(y)
tu multiplies respectivement les expressions trouvées par x(1-y) et y(1-x) ..... tu vas te régaler !
en fait yavait pas besoin de donner à x et y des valeurs particulières !
ok mais la question étant
b) Déterminer deux fonctions et telles que V soit solution de (E)
Donc il faut malheureusement passer par là ...
Donc il fallait juste trouver un exemple où ça marche
Une dernière chose : pour la 2)
comment fait-on pour
a) Montrer que, pour tout réel T, si x et y vérifient (S) alors les fonctions
t->x(t+T) et t->y(t+T) vérifient aussi (S)
b) Montrer que si V satisfait à (E), et si x et y vérifient (S) sur IR alors la fonction
t->V(x(t),y(t)) est constante.
salut
calcule dV/dt=V/x*x/t+V/y*y/t
et prouve que ça fait 0 en utilisant le fait que V vérifie (E) et x et y vérifient (S)...
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