Bonjour à tous.

Les sous-variétés étant quelque chose d'un peu nouveau pour moi, je bloque sur la question d'un DM :

On note SLn() le groupe spécial linéaire contenant les matrices de déterminant 1.

1) Montrer que GLn() est un ouvert de Mn() et que la fonction det : GLn()Mn() est une submersion.

Rép : j'ai dit que GLn() était l'image réciproque, de l'ouvert * par l'application det (qui est continue), Gln est ouvert.

De plus, on a GLn() dense dans Mn() donc dim(GLn())=n² donc la dimension de l'espace de départ est supérieure à celle de l'espace d'arrivée. Comme la différentielle du déterminant ne s'annule pas sur GLn(), on a bien une submersion.

2) En déduire que SLn() est une sous variété de Mn() de dimension n²-1.

Rép : je suis embêté ici. Je lis dans ce topic Dimension de GLn(R) le théorème suivant :
Théorème des sous-variétés: Soit M un sous-ensemble de R^n. Pour tout a € M, il existe U ouvert de R^n contenant a. On a alors équivalence entre:

1) M sous-variété de R^n de dimension d

2)g:U->R^(n-d) une submersion telle que g^(-1)(0)=U(inter)M

3) Il existe V ouvert de R^d contenant 0 et h:V->R^n une immersion avec h:V->U(inter)M homéomorphisme.

4)a=(a1,..,an). Quitte à permuter les coordonnées de g, il existe H ouvert de R^d contenant (a1,...,ad) et G:H->R^(n-d) différentiable tels que U(inter)M= graphe de G.

Le point 2) me semble adapté pour montrer que c'est une sous variété : alors je prends l'ouvert GLn(R), l'application g=det et là je suis bloqué car j'ai l'égalité g^-1(I_n)=SLn(R)GLn(R)=SLn(R) et non g^-1(0)=...

Ma question est : comment "adapter" ce théorème pour pouvoir conclure ?

Merci d'avance, je reste en ligne.

Manu