Saluut tout le monde !!
Bon, voilà, j'étais entrain de préparé mon examen de séries quand je suis tombé sur un éxercice assez dur, le truc c'est ke je n'ai jamais vu un tel exO !!

Voici l'énoncé :
Soit la série de fonctions de terme général : fn(x)=(x^2n)/(1+x^2n), x est un réel et n est un entier naturel non nul !!
1- Montrons ke la série (Sigma fn(x)) diverge sur ]-%,-1]union[1,+%[.
2- Montrons ke la série converge simplement sur ]-1,1[.
3- Soit 0<a<1, montrons ke la série converge uniformément sur [-a,a].
4 - Montrons ke la série ne converge pas uniformément sur ]-1,1[, pour cela calculons le Sup de fn(x) avec x appartient à ]-1,1[.

Pour la question 1, c'est la première fois ke je trouve un exO ou on me demande de montrer la divergence et non la convergence, je connais pas de méthode, est ce ke je dois faire comme les séries numériques ?
Pour la 2, je ne peux pas passer par la convergence uniforme, et puis la somme est un peu dur à trouver..
Pour la 3, j'ai trouver ke le sup de fn(x) sur ]-a,a[ est égale à fn(a), mais comment montrer ke ce sup est convergent ?!
Pour la 4, d'après mes connaissances, c'est faux, car on peut pas conculre qu'une série n'est pas uniformément convergente si elle n'est pas normalement convergente..

Merci à tous ceux qui pourront m'aider ..  

*** message déplacé ***

Bonjour

Si |x| > 1, on a donc la série est divergente.

Si |x| < 1, on a et comme converge, est absolument convergente. On a donc la convergence simple sur ]-1,1[.

Si pour tout x de [-a,a] on a , la série est convergente, donc est normalement (et donc uniformément) convergente sur [-a,a]

On voit facilement que est croissante sur [0,1[. Elle est paire, donc



donc elle n'est pas uniformément convergente sur ]-1,1[

Saluut !!

Merci d'abord pour ton aide !!

Je n'ai pas bien saisi la quatrième question !! Est ce que tu l'as faite avec la méthode de la convergence normale ? Par ce que je sais bien ke la convergence non normale n'entraine pas la convergence non uniforme !!

Merci encore une fois !!

Non, j'ai utilisé directement la définition.

Une série defonctions est uniformément convergente sur [a,b] si et seulement si la série est convergente. ici, ce n'est évidemment pas le cas puisque le sup ne tend même pas vers 0.

Merciii Camiii !! C'est agréable de ta part !! =)