Bonjour
Je cherche à prouver que tous les termes de la suite
un=+ln(n) sont compris dans l'intervalle [0;1]
Avez-vous une idée ?
Récurrence ? - Je n'arrive pas à passer de ln(n) à ln(n+1) et à gérer les termes qui s'ajoutent à la somme.
Développer ln(n) à l'aide d'une formule de Taylor ? Je n'aboutis pas.
Je n'arrive pas à minorer ln(n). Et je ne sais pas si la somme est exprimable ou bornable en fonction de n par une formule sans somme.
Avez-vous des idées ?
Merci !!
Désolée, j'ai fait une erreur dans la formule : c'est la somme - ln(n), pas +.
Dans la question suivante, on veut prouver que la suite est croissante.
Bonsoir
On pose de sorte que soit une primitive de f
On pose
et
On a
(car f décroissante sur [n;n+1]
De meme
Donc les suites et sont adjacente
On note leur limite commune (appelée constante d'Euler)
Et i.e
Bonjour. Merci pour vos réponses ! Comme mes révisions son encore incomplètes (mais quand seront-elles complètes ?), j'avoue que je ne saisis pas l'histoire de la comparaison suite-intégrale.
Pour le signe de an+1-an, j'avoue que ça ne me saute pas aux yeux... mais en interprétant l'intégrale sous forme d'aire entre l'axe des abscisses et la courbe d'une fonction continue positive sur une "largeur" de 1, je comprends pourquoi l'intégrale est supérieure à f(n+1).
La an, c'est ma un ??
On a a1 = 1, an décroissante, donc pour tout n supérieur ou égal à 1, an soit un inférieur ou égal à 1.
bn est définie à partir de n=2. Elle est croissante. b2 = 1 - ln(2) = ln(e) - ln(2) = ln(e/2) et comme e>2, e/2 > 1 donc b2>0 ainsi que tous les bn.
un est donc une suite décroissante de 1er terme 1, qui converge vers une limite strictement supérieure à 0.
C'est pourquoi tous les termes de un sont compris dans l'intervalle ]0;1]
un converge soit par adjacence de an et bn, soit parce qu'elle est décroissante et minorée.
Ai-je compris correctement ? Quelle partie du programme de prépa dois-je réviser pour trouver ce genre de raisonnement ?
Merci en tout cas, j'ai de la chance d'avoir des correspondants calés
Ce qui me semble étrange, c'est qu'on ne demande de prouver la monotonie puis la convergence de un qu'aux questions suivantes...
Bonjour
Ayant un peu médité sur la question (le truc de la comparaison série/intégrale m'est un peu revenu...), j'ai pensé à ceci pour minorer la suite :
la fonction inverse étant décroissante sur ] 0 ; + [,
Pour tout n 1, on a
Comme
on a, pour tout n 1, soit 0
Par contre, pour la majorer, je ne peux pas utiliser l'intégrale de 1/(t-1), puisque cette fonction n'est pas définie en 1.
Je prends donc le parti de prouver que un, de premier terme 1, est décroissante.
Et pour cela, je vais essayer l'idée de Matouille2b.
Merci encore et à bientôt.
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