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Utilisation des formules de trigonométrie.

Posté par
elise78 12-09-09 à 14:00

Bonjour à tous,
Je suis en prépa HEC et j'aurais besoin d'aide pour un exercice de maths :

1.On veut prouver qu'il existe trois nombres réels a, b, c tels que, pour tout nombre réel x, on ait :
sin(5x/2)=sin(x/2)(acos²x+bcosx+c)  (1)

a.En donnant trois valeurs particulières à x, trouver les seules valeurs possibles pour a, b et c.
b.Montrer que les valeurs trouvées conviennent effectivement.

2.En utilisant la relation (1), montrer qu'il existe trois nombres réels a',b' et c' tels que, pour tout nombre réel x, on ait :
cos(5x/2)=cos(x/2)(a'cos²x+b'cosx+c')

3.a.En utilisant les relations (1) et (2), exprimer sin(5x) en fonction de sin(x).
  b.Retrouver ce résultat par une méthode directe.

J'ai trouvé la réponse à la question 1.a. (a=4, b=2, c=-1) et je sais qu'il faut mettre sous forme exponentielle pour la question 1.b mais je n'arrive pas à mettre sous formes exponentielle. Pourriez vous m'aider s'il vous plait
Merci d'avance

Posté par
perroquetre : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 14:48

Bonjour, elise78

Si tu tiens à "mettre sous forme exponentielle":

3$ \sin\frac{5x}{2}=\frac{e^{i\frac{5x}{2}}-e^{-i\frac{5x}{2}}}{2i}    3$ \sin\frac{x}{2}=\frac{e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}}}{2}     3$ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

Et il ne reste plus qu'à développer courageusement pour constater l'égalité.


Cependant, on peut aller plus vite en utilisant les propriétés suivantes:

3$ \cos^2x=\frac{1+\cos x}{2}       \sin a\ \cos b =\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 15:16

Ah oui daccord je n'y avais pas pensé. Merci beaucoup!
Et je voulais savoir aussi, j'ai trouvé la question 2, mais pas les questions 3. En fait, pour la 3.b je crois qu'il faut réutiliser ce que vous m'avez dit pour la 1.b? Mais pour la 3.a je ne vois pas dutout.

Posté par
perroquetre : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 15:25

Question 3a

3$ \sin (5x)=2\ \sin\frac{5X}{2}\ \cos\frac{5x}{2} =\ldots

On utilise ensuite le fait que   3$ \cos^2 x=1-\sin^2 x


Question 3b

3$ \cos (5x)+i\,\sin(5x)=e^{5ix}=\left(e^{ix}\right)^5=(\cos x+i\,\sin x)^5

On développe avec la formule du binôme de Newton, on égale les parties imaginaires, et on est presque au résultat.

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 16:20

En faisant la 2e méthode pour la question 1.b jarrive à
sin(x/2)(acos²x+bcosx+c)=1/2i * [2e^i3x/2 - 2e^-i3x/2 + e^ix/2 -e^-ix/2]
donc sin(x/2)(acos²x+bcosx+c)=1/i [2sin3x/2 + sinx/2]
je ne vois pas comment arriver à sin5x/2 :S

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 16:32

en fait j'arrive à sin(x/2)(acos²x+bcosx+c)=[2sin3x/2 + sinx/2]

Posté par
perroquetre : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 16:37

Il y a une erreur de calcul. On a:

3$ \sin\frac{x}{2} \left(4\cos^2x+2\cos x-1)= \frac{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}{2i}\left( 4 \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2+e^{ix}+e^{-ix}-1\right)= \frac{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}{2i}\left(e^{2ix}+e^{-2ix}+e^{ix}+e^{-ix}+1\right)

Et on obtient, après développement   3$\frac{e^{5ix/2}-e^{-5ix/2}}{2i}

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 17:05

après développement, j'obtiens :
1/2i * [2e^i5/2x + 2e^-i3/2x + e^i3/2x + e^-i/2x - e^i/2x - 2e^-i3/2x - 2e^-i5/2x - e^i/2x - e^-i3/2x + e^-i/2x]

Posté par
perroquetre : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 17:44

Il y a de nouveau des fautes de calcul; on ne peut avoir de terme multiple de 2 dans le développement avec l'expression intermédiaire que je t'ai donnée dans mon post de 16h37 (l'expression qui est située le plus à droite).

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 18:30

oui justement je ne comprends pas pq les multiples de deux s'en vont quand on fait le calcul :
4*[(e^ix + e^-ix)/2]²

Posté par
perroquetre : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 19:26

3$ 4\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2= 4 \frac{e^{2ix}+e^{-2ix}+2}{4}=e^{2ix}+e^{-2ix}+2

Il y a effectivement "2" dans ce développement, mais il se simplifie avec le "-1" un peu plus loin

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 19:57

Ah oui d'accord! Cette fois ca marche, il ne reste que un e^i3/2x et un -e^-i3/2x qui m'empechent de conclure mon calcul

Posté par
perroquetre : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 20:04

Reprends très soigneusement ton développement (seulement les termes en e^(3ix/2) et e^(-3ix/2)); tu verras qu'un de tes e^(-3ix/2) était en fait un e^(3ix/2) (ou le contraire)

Posté par
elise78re : Utilisation des formules de trigonométrie. 12-09-09 à 20:24

Ca y est ca marche enfin!! Merci beaucoup
Bonne soirée


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