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Utilisation du thm du Héron
Bonsoir,
j'ai un petit exo à faire pour mardi qui met en application la formule de héron.
Je n'arrive pas à faire la dernière question. Je vous mets mon raisonnement.
On cherche à déterminer, parmi les triangles de demi-périmètre fixé, le triangle T (de coté a, b et c) de surface maximale. On supposera par exemple que le demi-périmètre p vaut p=1. (on a donc a+b+c=2p)
J'ai tout d'abord montré que
Pour ce faire, j'ai développé
Soit T' un triangle isocèle en T de côtés ,
et c.
Je peux alors exprimer S² et S'² carrés des surfaces de T et T' en fonction de a et b.
Cela donne :
En posant et
on obtient
Or on sait que et
est commun aux deux expressions.
Donc et par conséquent
(car
).
T est le triangle dont on cherche la surface maximale. Autrement dit, il faut que S=S' et donc que le triangle T soit isocèle en C (tout comme T').
Montrer que T est équilatéral.
Ce raisonnement est incomplet. Expliquer pourquoi (question difficile).
Voilà, je n'arrive pas à faire ces deux dernières questions, si qqn pouvait m'éclairer ce serait gentil.
Merci d'avance !
Salut lolo947
Tu viens de montrer que pour qu'un triangle ABC (de périmètre constant) ait une aire maximale il fallait qu'il soit isocèle en C
Puisque A,B et C jouent des roles symètriques, il faut donc aussi qu'il soit isocele en B et en A donc qu'il soit équilatéral ...
Ce raisonnement n'est pas complet car c'est un raisonnement par condition nécéssaire.
En fait tu supposes que le triangle existe et tu montres nécéssairement qu'il est équilatéral mais qui te dis qu'il existe ... il faudrait aussi prouver son existence et ca c'est beaucoup plus difficile ...
Matouille2b 
merci j'ai compris ce que tu voulais dire.
Mais comment dire autrement que les trois points jouent des roles symétriques. Je comprend plus ou moins mais je n'arrive pas à l'expliquer correctement.
Tu as montré pour que ABC ait une aire maximale il faut qu'il soit isocèle en C
Permutes les roles de A et C par exemple
Cela donne : Pour que le triangle CBA ait une aire maximale il faut qu'il soit isocele en A
Et ainsi de suite ...
Bonsoir lolo,
En application de la fomule de Héron :
S² = p (p-a) (p-b) (p-c)
si p = 1, la formule se réduit à :
S² = 1 (1-a) (1-b) (1-c)
et si on exprime c en fonction de a et b :
S² = (1-a) (1-b) (1+a+b)
Si maintenant on admet que le triangle est isocèle, avec a = b, la formule se simplifie en :
S² = (1-a) (1-a) (1+2a)
Si on pose x = 1 - a, la formule devient :
S² = x² (1 - 2x)
Maintenant le sens de la question qui est posé, c'est de savoir à quelle condition sur x, la surface S² (donc S) est maximum (avec comme condition que le triangle soit isocèle) :
Pour ce faire, on étudie la fonction f(x) = x² (1 - 2x), afin de trouver un maximum, donc étude de la dérivée, donc x = 1/3. Ce qui permet de conclure que T est équilatéral.
Ensuite, on te demande de dire pourquoi ce raisonnement est incomplet. En d'autres termes pourquoi, avec le raisonnement précédent, on ne peut conclure que le triangle équilatéral est bien le triangle de plus grande surface.
...
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